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Membre1999
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Bonsoir a tous, j'ai un exercice a faire pour demain que je ne comprend pas, c'est le numéro 89 si quelqu'un pouvait me le faire avec étapes de calcul pour que je puisse le refaire et le comprendre ce serait génial, sachant qu'il faudrait que je comprenne car j'aurais bientot un ds.

Bonsoir A Tous Jai Un Exercice A Faire Pour Demain Que Je Ne Comprend Pas Cest Le Numéro 89 Si Quelquun Pouvait Me Le Faire Avec Étapes De Calcul Pour Que Je Pu class=

Sagot :

Bonjour  Membre1999

Exercice 89

a) q = 1/2

Croissance de la suite (Sn)

 [tex]S_{n+1}-S_n=(u_0+u_1+...+u_n+u_{n+1})-(u_0+u_1+...+u_n)\\\\S_{n+1}-S_n=u_0+u_1+...+u_n+u_{n+1}-u_0-u_1-...-u_n\\\\S_{n+1}-S_n=(u_0-u_0)+(u_1-u_1)+...+(u_n-u_n)+u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=0+0+...+0+u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=u_0\times q^{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=1\times(\dfrac{1}{2})^{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=(\dfrac{1}{2})^{n+1}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{S_{n+1}\ \textgreater \ S_n}[/tex]

Par conséquent, la suite (Sn) est strictement croissante.

Limite de la suite (Sn)

[tex]S_n=u_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\\\\\\S_n=1\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\S_n=\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^n}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\S_n=[1-(\dfrac{1}{2})^n]\times\dfrac{2}{1}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=2[1-(\dfrac{1}{2})^n]}[/tex]

Or  [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{2})^n=0\ \ car\ \ 0\ \textless \ \dfrac{1}{2}\ \textless \ 1[/tex]

D'où

[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=2[1-0]\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=2}[/tex]

b) q = 1/3

Croissance de la suite (Sn)

 [tex]S_{n+1}-S_n=(u_0+u_1+...+u_n+u_{n+1})-(u_0+u_1+...+u_n)\\\\S_{n+1}-S_n=u_0+u_1+...+u_n+u_{n+1}-u_0-u_1-...-u_n\\\\S_{n+1}-S_n=(u_0-u_0)+(u_1-u_1)+...+(u_n-u_n)+u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=0+0+...+0+u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=u_0\times q^{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=1\times(\dfrac{1}{3})^{n+1}\\\\S_{n+1}-S_n=(\dfrac{1}{3})^{n+1}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{S_{n+1}\ \textgreater \ S_n}[/tex]

Par conséquent, la suite (Sn) est strictement croissante.

Limite de la suite (Sn)

[tex]S_n=u_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\\\\\\S_n=1\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^n}{1-\dfrac{1}{3}}\\\\\\S_n=\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^n}{\dfrac{2}{3}}\\\\\\S_n=[1-(\dfrac{1}{3})^n]\times\dfrac{3}{2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=\dfrac{3}{2}\times[1-(\dfrac{1}{3})^n]}[/tex]

Or  [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{3})^n=0\ \ car\ \ 0\ \textless \ \dfrac{1}{3}\ \textless \ 1[/tex]

D'où

[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{3}{2}\times[1-0]\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{3}{2}}[/tex]



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