Bonjour,
Un+1 = 3Un/(1 + 2Un) et U₀ = 1/2
1)a) U₁ = (3/2)/(1 + 2x1/2) = 3/4
U₂ = (9/4)/(1 + 2x3/4) = (9/4)/(10/4) = 9/10
b) U₀ > 0
Hypothèse : Un > 0
⇒ 3Un > 0 et (1 + 2Un) > 0
⇒ 3Un/(1 + 2Un) > 0 ⇔ Un+1 > 0
Donc hérédité démontrée ⇒ ∀n∈N, Un > 0
2) on admet Un < 1
Un+1/Un = 3/(1 + 2Un)
Un < 1
⇒ 1 + 2Un < 1 + 2x1
⇔ 1 + 2Un < 3
⇒ 1/(1 + 2Un) > 1/3
⇒ 3/(1 + 2Un) > 1
⇔ Un+1/Un > 1
Donc Un+1 > Un car Un > 0
Et (Un) est croissante
3) Vn = Un/(1 - Un)
a) Vn+1 = Un+1/(1 - Un+1)
= [3Un/(1 + 2Un)]/[1 - 3Un/(1 + 2Un)]
= 3Un/(1 + 2Un) x (1 + 2Un)/(1 - Un)
= 3Un/(1 - Un)
= 3Vn
Donc (Vn) suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :
V₀ = (1/2)/(1/2) = 1
b) On en déduit : Vn = 3ⁿ
c) Vn = Un/(1 - Un)
⇒ (1 - Un)Vn = Un
⇔ Vn = Un(1 + Vn)
⇒ Un = Vn/(1 + Vn)
Donc Un = 3ⁿ/(1 + 3ⁿ)
d) Quand n → +∞, 3ⁿ/(3ⁿ + 1) → 1
⇒ lim Un = 1
