Sagot :
Bonjour
Monpetitcoeur72,
Exercice 3
[tex]a)\ \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{k}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k+1}{k}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\dfrac{0}{1}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{0}{3}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{0}{5}+\dfrac{2}{6}+...+\dfrac{0}{2n-1}+\dfrac{2}{2n}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}\dfrac{2}{2\ell}[/tex]
[tex]\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}\dfrac{1}{\ell}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=H_n}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}=-H_{2n}+H_n}[/tex]
b) Soit [tex]T_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}[/tex]
En utilisant les résultats de la question 3a) et de la question 2d), nous obtenons :
[tex]T_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}\\\\\\T_{2n}=H_n-H_{2n}\\\\T_{2n}=(\ln n+\gamma+\varepsilon_n)-(\ln(2n)+\gamma+\varepsilon_{2n})\\\\T_{2n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n-\ln(2n)-\gamma-\varepsilon_{2n})\\\\T_{2n}=\ln n-\ln(2n)+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\T_{2n}=\ln n-(\ln2+\ln n)+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\T_{2n}=\ln n-\ln2-\ln n+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\\boxed{T_{2n}=-\ln2+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}}[/tex]
Or si n tend vers +oo, [tex](\varepsilon_n\longrightarrow0)\Longrightarrow(\varepsilon_{2n}\longrightarrow0)[/tex]
Par conséquent,si n tend vers +oo, [tex]\boxed{T_{2n}\longrightarrow-\ln2}[/tex]
De même,
[tex]T_{2n+1}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^k}{k}\\\\\\T_{2n+1}=[\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}]+\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}\\\\\\T_{2n+1}=[\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}]-\dfrac{1}{2n+1}\\\\\\T_{2n+1}=T_{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\\\\\boxed{T_{2n+1}=-\ln2+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}-\dfrac{1}{2n+1}}[/tex]
Or si n tend vers +oo,
[tex](\varepsilon_n-\varepsilon_{2n})\longrightarrow0\ \ et\ \ \dfrac{1}{2n+1}\longrightarrow0[/tex]
Par conséquent, si n tend vers +oo, [tex]\boxed{T_{2n+1}\longrightarrow-\ln2}[/tex]
Or nous savons que si [tex](u_{n})[/tex] est une suite réelle telles que ses suites extraites [tex](u_{2n})[/tex] et [tex](u_{2n+1})[/tex] convergent vers la même limite, alors la suite [tex](u_{n})[/tex] converge également vers cette limite.
Puisque les suites [tex](T_{2n})[/tex] et [tex](T_{2n+1})[/tex] tendent vers la même limite -ln2, nous en déduisons que la suite [tex](T_{n})[/tex] tend également vers -ln2.
Par conséquent,
la série [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex] est convergente et [tex]\boxed{\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}=-\ln2}[/tex]
c) Etudions la convergence absolue de [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex].
[tex]\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\dfrac{|(-1)^n|}{|n|}=\dfrac{1}{|n|}=\dfrac{1}{n}\ \ car\ n\ge1[/tex]
D'où [tex]\sum\limits_{n\ge1}\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{1}{n}[/tex]
Or nous savons que la série harmonique [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{1}{n}[/tex] est divergente.
Par conséquent, la série [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex] n'est pas absolument convergente.
Une telle série s'appelle la série harmonique alternée.
Exercice 3
[tex]a)\ \sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{k}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k+1}{k}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\dfrac{0}{1}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{0}{3}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{0}{5}+\dfrac{2}{6}+...+\dfrac{0}{2n-1}+\dfrac{2}{2n}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}\dfrac{2}{2\ell}[/tex]
[tex]\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}\dfrac{1}{\ell}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}+H_{2n}=H_n}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}=-H_{2n}+H_n}[/tex]
b) Soit [tex]T_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}[/tex]
En utilisant les résultats de la question 3a) et de la question 2d), nous obtenons :
[tex]T_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}\\\\\\T_{2n}=H_n-H_{2n}\\\\T_{2n}=(\ln n+\gamma+\varepsilon_n)-(\ln(2n)+\gamma+\varepsilon_{2n})\\\\T_{2n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n-\ln(2n)-\gamma-\varepsilon_{2n})\\\\T_{2n}=\ln n-\ln(2n)+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\T_{2n}=\ln n-(\ln2+\ln n)+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\T_{2n}=\ln n-\ln2-\ln n+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}\\\\\boxed{T_{2n}=-\ln2+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}}[/tex]
Or si n tend vers +oo, [tex](\varepsilon_n\longrightarrow0)\Longrightarrow(\varepsilon_{2n}\longrightarrow0)[/tex]
Par conséquent,si n tend vers +oo, [tex]\boxed{T_{2n}\longrightarrow-\ln2}[/tex]
De même,
[tex]T_{2n+1}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^k}{k}\\\\\\T_{2n+1}=[\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}]+\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}\\\\\\T_{2n+1}=[\sum\limits_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k}]-\dfrac{1}{2n+1}\\\\\\T_{2n+1}=T_{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\\\\\boxed{T_{2n+1}=-\ln2+\varepsilon_n-\varepsilon_{2n}-\dfrac{1}{2n+1}}[/tex]
Or si n tend vers +oo,
[tex](\varepsilon_n-\varepsilon_{2n})\longrightarrow0\ \ et\ \ \dfrac{1}{2n+1}\longrightarrow0[/tex]
Par conséquent, si n tend vers +oo, [tex]\boxed{T_{2n+1}\longrightarrow-\ln2}[/tex]
Or nous savons que si [tex](u_{n})[/tex] est une suite réelle telles que ses suites extraites [tex](u_{2n})[/tex] et [tex](u_{2n+1})[/tex] convergent vers la même limite, alors la suite [tex](u_{n})[/tex] converge également vers cette limite.
Puisque les suites [tex](T_{2n})[/tex] et [tex](T_{2n+1})[/tex] tendent vers la même limite -ln2, nous en déduisons que la suite [tex](T_{n})[/tex] tend également vers -ln2.
Par conséquent,
la série [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex] est convergente et [tex]\boxed{\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}=-\ln2}[/tex]
c) Etudions la convergence absolue de [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex].
[tex]\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\dfrac{|(-1)^n|}{|n|}=\dfrac{1}{|n|}=\dfrac{1}{n}\ \ car\ n\ge1[/tex]
D'où [tex]\sum\limits_{n\ge1}\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{1}{n}[/tex]
Or nous savons que la série harmonique [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{1}{n}[/tex] est divergente.
Par conséquent, la série [tex]\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^n}{n}[/tex] n'est pas absolument convergente.
Une telle série s'appelle la série harmonique alternée.
Votre engagement est important pour nous. Continuez à partager vos connaissances et vos expériences. Créons un environnement d'apprentissage agréable et bénéfique pour tous. Pour des réponses rapides et fiables, pensez à FRstudy.me. Merci de votre visite et à bientôt.
