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Fripouille09
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Bonsoir ! J'ai besoin d'aide, merci d'avance.
Soit la fonction f définie par :
f(x)=(4x-1)/(x+2).
On considère la suite U définie par U0=5 et pour tout entier naturel n par U(n+1)=f(Un).
--> Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Un>1.

Ce que j'ai commencé à faire :
Notons la propriété P(n) : "Un>1"
. Initialisation :
U0=5 ; 5>1 ; donc U0>1 } donc P(0) est vraie
. Hérédité :
(Hypothèse de récurrence) Supposons un entier quelconque q, supérieur ou égal à 0, tel que P(q+1) soit vraie : U(q+1)>1
... et là, je bloque...!
Pouvez m'aider SVP !! Merci !!

Sagot :

Laurance
:
f(x)=(4x-1)/(x+2) = (4x+8-9)  /(x+2)=(4x+8)/(x+2)  - 9/(x+2)=  4   -9/(x+2)  comme x+2 est croissante   1/(x+2) est  décroissante et  -9/(x+2) est croissante et  f(x) est donc croissante  
si  un >1   comme f est croissante alors  f(un) > f(1) 
or f(un) = un+1  et  f(1)=1
On considère la suite U définie par U0=5 et pour tout entier naturel n par U(n+1)=f(Un).  donc  un+1 > 1  et comme  uo>5   on a 
démontré par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Un>1.  

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