👤
Zyle04
Answered

Explorez un monde de connaissances et obtenez des réponses sur FRstudy.me. Rejoignez notre communauté pour accéder à des réponses fiables et complètes à vos questions de la part de professionnels expérimentés.

Hey!

J'aurais besoin d'aide pour cet exercice d'un dm de maths:

1. Trouver un entier naturel n qui n'admet pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3 tel que n^2 admet 3 fois plus de diviseurs dans N que n.

2. Trouver un nombre entier naturel qui s'écrit cabc (il y a une barre sur cabc) dans le système de numération à base cinq et aba (pareil, il y a une barre dessus) dans le système de numération à base huit.

Toute trace de réponse pourrait m'aider, merci d'avance :D
Bonne journée

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

1) ∈N et n'admet pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3

⇒ n = 2ᵃ x 3ᵇ    avec a et b ∈ N

n a alors (a + 1)(b + 1) diviseurs (ça se démontre, je ne sais pas si tu as vu ça comme un théorème admis)

On a alors N = n² = (2ᵃ x 3ᵇ)² = 2²ᵃ x 3²ᵇ

N a donc (2a + 1)(2b + 1) diviseurs

On veut : (2a + 1)(2b + 1) = 3(a + 1)(b + 1)

⇔ 4ab + 2a + 2b + 1 = 3ab + 3a + 3b + 3

⇔ ab - a - b - 2 = 0

⇔ a(b - 1) = b + 2

⇔ a = (b + 2)/(b - 1)    et b ≠ 1

⇔ a = (b - 1 + 3)/(b -1)

⇔ a = (b - 1)/(b - 1) + 3/(b - 1)

⇔ a = 1 + 3/(b - 1)

⇒ (b - 1) divise 3

⇒  b - 1 = 1    ⇒  b = 2
ou b - 1 = 3    ou b = 4

⇒  a = (b + 2)(b - 1) = 4
ou a = 6/3 = 2

Donc n = 2⁴ x 3² ou n = 2² x 3⁴

On peut vérifier que :
.144 a 15 diviseurs et 144² = 20736 en a 45.
. 324 a 15 diviseurs et 324² = 104976 en a 45.

Enfin si on s'ennuie....

2)

cabc en base 5 = c + 5b + 25a+ 125c = 25a + 5b + 126c

aba en base 8 = a + 8b + 64a = 65a + 8b

⇒ 25a + 5b + 126c = 65a + 8b

⇔ 40a + 3b = 126c

0 ≤ a, b et c ≤ 4 ⇒ on va étudier tous les cas de c = 0 à c = 4

c = 0 ⇒ 40a + 3b = 0 ⇒ a = b = 0

Soit 0 base 5 = 0 base 8
 
c = 1 ⇒ 40a + 3b = 126

⇔ a = (126 - 3b)/40 = (120 + 6 - 3b)/40 = 3 + (6 - 3b)/40

6 - 3b divisible par 40 ⇒ 6 - 3b = 0 ⇒ b = 2

⇒ a = 3

Donc solution a = 3 b = 2 c = 1

c = 2 ⇒ 40a + 3b = 252

⇒ a = ... = 6 + (12 - 3b)/40 ⇒ b = 4 ⇒ a = 6 impossible (a<5)

c = 3 ⇒ 40a + 3b = 378

⇒ a = ... = 9 + (18 - 3b)/40 > 9 donc impossible (a < 5)

c = 4 ⇒ idem impossible


Donc 1 solution a = 3 b = 2 et c = 1

soit en base 5 : 1321
       en base 8 : 323

en base 10 :      211
Merci d'être un membre actif de notre communauté. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons atteindre de nouveaux sommets de connaissances. Faites de FRstudy.me votre ressource principale pour des réponses fiables. Nous vous attendons pour plus de solutions.