Bonjour
Partie A
1)
U(n+1) = -1/2 U²n+3Un-3/2
Uo = 2
U1= -1/2Uo+3Uo-3/2
=-1/2*2+3*2-3/2
= 5/2
U2= -1/2U1+3U1-3/2
=23/8
U3=383/128 = 2,99219 à 10^-5 près
U4= 98303/32768 = 2,99997
conjecture
la suite est croissante
et elle converge vers 3
partie B
1)
vn =Un-3
V(n+1) =u(n+1) -3
=-1/2 U²n +3Un-3/2-3
=-1/2 U²n +3Un-9/2
on met -1/2 en facteur
=-1/2 (U²n -6Un+9)
identité remarquable
= -1/2 (un-3)²
= -1/2V²n
2)
Uo = 2
Vo =Uo-3=2-3= -1
V(n+1) = U(n+1) -3 =
il faut démontrer que -1 ≤ Vn ≤
0
initialisation
pour n=0
Vo = -1
-1 ≤ -1 ≤ 0
-1 ≤ Vo ≤ 0
donc la propriété est vraie au rang 0
c'est à dire pour n = 0
hérédité
soit n un entier naturel
supposons que -1 ≤ Vn ≤ 0 soit
vrai
(hypothèse
de récurrence)
il faut montrer que la propriété est
vraie pour l'entier suivant
c'est à dire que :
-1 ≤ V(n+1) ≤ 0
démonstration de l'hérédité
V(n+1) = -1/2 Vn²
-1 ≤ Vn ≤ 0
(-1)² ≤ V²n ≤ 0 ²
1 ≤ V²n ≤ 0
1* -1/2≤
V²n*-1/2 ≤ 0 *-1/2
-
½ ≤ -1/2 V²n ≤ 0
-½
≤ -1/2 V²n ≤ 0
- ½
≤ V(n+1) ≤ 0
si
V(n+1) ≥ -1/2
elle est à fortiori ≥ -1
donc on a
-1 ≤ V(n+1) ≤ 0
donc l'égalité est vérifiée au rang
n+1
donc la propriété est héréditaire
3)
a)
on sait que V(n+1)= -1/2 V²n
donc
V(n+1) -Vn
= -1/2 V²n -Vn
on met -Vn en facteur
=- Vn(1/2 Vn +1)
b)
-Vn est positif
car -1
≤ Vn ≤ 0
et 1/2 Vn +1 est positif
(car 1/2*-1 +1 = ½)
donc - Vn(1/2 Vn +1) > 0
V(n+1) -Vn >0
la suite est croissante
4)
Vn converge car elle admet une limite
finie
5)
l = -1/2 l²
=> 1/2 l² + l = 0
Δ =1
l1 =-2
l2= 0
-2∉ à l'intervalle de définition
donc la limite est 0
l=0
6)
oui la conjecture est validée
Comme Vn = Un-3 => Un = Vn +3
On a démontré que limite de Vn = 0
donc limite de Un = 0+3 = 3
