Bonjour,
A) A(6:3)
H ∈ (P) ⇒ H(x;x²)
AH minimum ⇒ AH² minimum
AH² = (x - 6)² + (x² - 3)²
= x² - 12x + 36 + x⁴ - 6x² + 9
= x⁴ - 5x² - 12x + 45
Soit f(x) = AH²
f'(x) = 4x³ - 10x - 12
= (x - 2)(4x² + 8x + 6)
= 2(x - 2)(2x² + 4x + 3)
Signe de 2x² + 4x + 3
Δ = 16 - 4x2x3 = -8 donc pas de racine
⇒ toujours positif
⇒ f'(x) est du signe de (x - 2)
x -∞ 2 +∞
x-2 - 0 +
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. crois.
lim f(x) quand x → -∞ = +∞
lim f(x) quand x → +∞ = +∞
f(2) = 16 - 20 - 24 + 45 = 17
Le minimum est atteint pour x = 2 / f(x) = 17
soit AH = √(17) et H(2;4)
H est aussi l'intersection de la tangente à (P) en x = 2 et de sa perpendiculaire passant par A
B) iz² -2z(barre) + 2 - i = 0
z = a + ib
z² = (a² - b²) + 2abi
zbarre = a - ib
i[(a² - b²) + 2abi] - 2(a - ib) + 2 - i = 0
[(a² - b²) + 2b - 1]i - 2ab - 2a + 2 = 0
⇒ a² - b² + 2b - 1 = 0 (1)
et -2ab - 2a + 2 = 0 (2)
(2) ⇒ ab + a - 1 = 0 ⇒ b = (1 - a)/a = 1/a - 1
(1) ⇔ a² - 1/a² - 1 + 2/a + 2/a - 2 - 1 = 0
⇔ (a⁴ - 1 - 4a² + 4a)/a² = 0
⇒ (a - 1)(a³ + a² - 3a + 1) = 0
⇔ (a - 1)(a - 1)(a² + 2a - 1) = 0
⇔ (a - 1)²(a - (-2 - √8)/2)(a + (-2 + √8)/2)
Donc 3 solutions :
a = 1
a = -1 - √2
a = -1 + √2
reste plus qu'a en déduire b = 1/a - 1
et à vérifier que je ne me sois pas planté qqpart ;)
