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ABC est un triangle isocèle en A et de périmètre 16 cm . De plus , son aire est égale au quart de l'aire d'un carré construit sur sa base [BC]. Qu'elles sont les longueurs des côtes de ce triangle ?
On note BC = x
Exprime AH et AC en fonction x
Détermine alors BC, AB et AC

ABC Est Un Triangle Isocèle En A Et De Périmètre 16 Cm De Plus Son Aire Est Égale Au Quart De Laire Dun Carré Construit Sur Sa Base BC Quelles Sont Les Longueur class=

Sagot :

1) ABC est isocele , donc AH coupe BC en son milieu (HB = HC = x/2)
2) AB + AC + BC = 16 cm
3) Aire de ABC = (BC.AH)/2 → Aire de ABC = x.AH/2
4) Aire ABC = (1/4).x² (x² etant l'aire du carre), donc
5) x.AH/2 = (1/4).x² → AH = x/2
6) AH = x/2 et HC = x/2 donc AHC est rectangle isocele. Calculons AC:
7) AC² = AH²+HC² → AC² = (x/2)² + (x/2)² →AC² = 2x²/4 et AC² = x²/2, donc:

AC = √(x²/2) → AC = AB = x/√2 = (x√2)/2.
8) Perimetre = (x√2)/2.+ (x√2)/2.+ x = 16 → x√2 + x = 16, qu'on peut ecrire:
x√2 + x = 16 → x√2 = 16 -x. Elevons les 2 membres au carre:

(x.√2)² = (16-x)² →
2x² = 256 - 32x + x² → OU 256 - 32x + x²  - 2x² = 0 , et:

-x² - 32x +256 = 0   OR x² + 32x - 256 =0

9) Trouvons les racines de x² + 32x - 256 =0
  x' = [-b+√(b²-4.a.c)]/2a   et  x" = [-b√(b²-4.a.c)]/2a  

On trouve x = 6.627 (et l'autre x est negative, donc ce n'est pas une solution)

10) Ayant trouver x = 6.627, 

Rappel AB = AC = (x√2)/2 et BC = x, donc:
AB = AC = (6.627)(√2)/2 = 9.37 cm  et BC  = 6.627:

Preuve : AB + AC + BC = 16 OU 4.685+ 4.685+ 6.627 = 15,997 ≈ 16 cm

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