Bonjour,
On définit la fonction f telle que:
f(t)=(-t²)/2+3t+1
Une dérivée f' de cette courbe est donnée par:
f'(t)=((-t²)/2+3t+1)'
f'(t)=-t+3
Une tangente à une courbe est une droite ayant pour équation du type:
y=f'(a)(t-a)+f(a)
y=(-2+3)(t-2)+((-2²/2)+3*2+1)
y=(t-2)+(-2+6+1)
y=(t-2)+5
y=t+3-----> CQFD
Pour étudier la position relative, il suffit d'étudier le signe de la différence entre l’équation de la courbe et l'équation de la droite donc:
f(t)-y
=(-t²/2)+3t+1-t-3
=(-t²/2)+2t-2
f(t)-y=0
(-t²/2)+2t-2=0
Δ=b²-4ac=(2)²-4(-1/2)(-2)=4-4=0
donc cette équation admet qu'une seule solution qui est du type:
t=-b/2a=-2/(2/-1/2)=2
On peut alors écrire f(t)-y sur la forme suivante:
f(t)-y=(-1/2)(x-2)²
∀t∈R, on a (x-2)²≥0 donc (-1/2)(x-2)²≤0 donc f(t)-y≤0.
On en conclu donc que la tangente est toujours en dessus de de courbe de f.
