Bonjour,
f(x) = (x⁴ - 6x² + 1)/(x³ - x)
1) limites en l'infini = limites des termes de + haut degré
soit x⁴/x³, donc lim f(x) = lim x
⇒ en +∞, +∞ et en -∞, -∞
2)a)
ax + b/x + c/(x + 1) + d/(x - 1)
= 1/(x³ - x) . [ax²(x + 1)(x - 1) + b(x + 1)(x - 1) + cx(x - 1) + dx(x + 1)]
= 1/(x³ - x) . [ax⁴ - ax² + bx² - b + cx² - cx + dx² + dx]
= 1/(x³ - x) . [ax⁴ + (-a + b + c + d)x² + (-c + d)x - b]
⇒ a = 1 a = 1
-a + b + c + d = -6 ⇔ b = -1
-c + d = 0 c = -2
-b = 1 d = -2
Soit f(x) = x - 1/x - 2/(x + 1) - 2/(x - 1)
⇒ Asymptotes verticales : x = 0 , x = 1 et x = -1
3) f'(x) > 0 sur R
x -∞ -1 0 1 +∞
f'(x) + || + || + || +
f(x) crois. || crois. || crois. || crois.
4) (D) : y = ax et a = 1 ⇒ y = x
d(x) = f(x) - x
a) lim d(x) quand x→+∞ = lim(-1/x - 2/(x + 1) - 2(x - 1)) = 0⁻
et lim d(x) quand x→-∞ = 0⁺
donc (D) est asymptote oblique à (C)
