Bonjour,
1)a)
Si f(an) x f((an + bn)/2) < 0 :
(bn+1 - an+1) = (an + bn)/2 - an = (bn - an)/2
Sinon, (bn+1 - an+1) = bn - (an + bn)/2 = (bn - an)/2
⇒ dans les 2 cas, (bn+1 - an+1) = 1/2(bn - an)
⇒ (bn - an) suite géo de raison q = 1/2
b) on en déduit : (bn - an) = (b₀ - a₀)qⁿ = 1/2ⁿ
lim(bn- an) quand n →+∞ = 0
2) a) an+1 - an =
soit 0
soit (an + bn/2 - an = (bn - an)/2 = 1/2ⁿ⁺¹ > 0
Donc dans les 2 cas an+1 - an ≥ 0 ⇒ (an) croissante
1 ≤ an ≤ 2 donc an est bornée, donc majorée
Donc (an) est croissante et majorée ⇒ (an) convergente
b) bn+1 - bn =
soit 0
soit (an - bn)/2 = -1/2ⁿ⁺¹ < 0
⇒ (bn) décroissante
1 ≤ bn ≤ 2 ⇒ (bn) bornée, donc minorée
(bn) décroissante et minorée ⇒ convergente
c) 1 ≤ an ≤ α ⇒ 1 ≤ l ≤ α
et α ≤ bn ≤ 2 ⇒ α ≤ l' ≤ 2
lim (bn - an) = 0 ⇔ lim(bn) - lim(an) = 0 ⇔ l - l' = 0
⇒ (an) et (bn) sont adjacentes
3) a) α - ε < α < α + ε
je te laisse cette question de conclusion
