Bonjour,
1) f(x) = -4
⇔ x³ - 2x² - 4x - 4 = -4
⇔ x³ - 2x² - 4x = 0
⇔ x(x² - 2x - 4) = 0
⇔ x = 0 ou x² - 2x - 4 = 0
Δ = (-2)² - 4x1x(-4) = 4 + 16 = 20 = (2√5)²
Donc 2 solutions : x = (2 - 2√5)/2 = 1 - √5 (≈ -1,23)
et x = 1 + √5 (≈ 3,23)
Donc 3 solutions : 1 - √5, 0 et 1 + √5
2) f'(x) = 3x² - 4x - 4
f'(x) = 0 ?
Δ = 16 + 48 = 64 = 8²
⇒ 2 racines : x = (4 + 8)/6 = 2 et x = (4 - 8)/6 = -2/3
⇒ f'(x) = 3(x - 2)(x + 2/3)
x -∞ -2/3 2 +∞
x-2 - - 0 +
x+2/3 - 0 + +
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) crois. décrois. crois.
3) f(x) = -12 ?
lim f(x) quand x→ -∞ = -∞
f(-2/3) = -8/27 - 8/9 + 8/3 - 4 = (-8 - 24 + 72 - 108)/27 = -68/27 (≈-2,52)
f(2) = 8 - 8 - 8 - 4 = -12
lim f(x) quand x→ +∞ = +∞
On en déduit que f(x) = -12 a une solution dans ]-∞;-2/3] et une solution dans [-2/3;+∞[ qui est x = 2
Donc 2 solutions dans R
4) non, car lim f(x) en -∞ = -∞ et en +∞ = +∞
Voir courbe
