Bonjour,
1)i) voir réponse déjà donnée
ii) On en déduit Dg = R
iii) -1/[x + 2 + √(x² + 4x + 5)]
= -1[x + 2 - √(x² + 4x + 5)]/[x + 2 + √(x² + 4x + 5)][x + 2 - √(x² + 4x +5)]
= -1[x + 2 + √(x² + 4x + 5)]/[(x + 2)² - (√(x² + 4x + 5))²]
= -1[x + 2 + √(x² + 4x + 5)]/[x² + 4x + 4 - x² - 4x - 5)
= -1[x + 2 + √(x² + 4x + 5)]/(-1)
= x + 2 + √(x² + 4x + 5)
= g(x)
2)i) Soit u(x) = x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1
u est définie et positive sur R
u est décroissante sur ]-∞;-2] et croissante sur [-2;+∞[
Soit v(x) = √(x)
v est définie sur [0;+∞[
v est croissante sur cet intervalle
On en déduit : h₁ = v[u(x)] = v o u (x)
définie sur R
décroissante sur ]-∞;-2] car composée d'une fonction croissante par une fonction décroissante sur cet intervalle.
croissante sur [-2;+∞[ car composée de 2 fonctions croissantes sur cet intervalle.
ii) h₂(x) = (x + 2) + h₁(x)
La fonction affine y = x + 2 étant croissante sur R, h₂ est la comme de 2 fonctions croissantes sur [-2;+∞[, donc est croissante sur cet intervalle.
iii) g(x) = -1/h₂(x)
La fonction f(x) = 1/x est décroissante sur son ensemble de définition.
Donc la fonction -f est croissante sur son ensemble de définition, donc croissante sur [-2;0[∪]0;+∞[
g(x) = -f[h₂(x)]
Donc g est la composée de 2 fonctions croissantes, donc est croissante sur [-2;+∞[ (car h₂(x) > 0)
3)i) g(50) ≈ -0,0096 à 10⁻⁴ près
Donc si x ≥ 50, soit x ∈ [50;+∞[, g(50) ≤ g(x)
Par ailleurs, d'après le 1)iii) g(x) ≤ 0 car (x + 2 + √(x² + 4x + 5)) ≥ 0 sur [-2;+∞[
Donc : x ≥ 50 ⇒ -1 ≤ -0,0096 ≤ g(x) ≤ 0
