Bonjour,
1) C(x) = x² - 30x + 300
C'(x) = 2x - 30 = 2(x - 15)
x 0 15 60
x - 15 - 0 +
C'(x) - 0 +
C(x) décroissante croissante
C(0) = 300
C(15) = 75
C(60) = 2100
2) 1 objet → 10 € ⇒ 1 milliers d'objets → 10 millier d'€
⇒ R(x) = 10x
3) B(x) = R(x) - C(x)
= 10x - (x² - 30x + 300)
= -x² + 40x - 300
4) B'(x) = -2x + 40 = 2(20 - x)
x 0 20 60
20 - x + 0 -
B'(x) + 0 -
B(x) croissante décroissante
B(0) = -300
B(20) = 100
B(60) = -1500
5) B(x) est maximal pour x = 20 et B(20) = 100 soit 100000 €
6) a) B(x) ≥ 0
⇔ -x² + 40x - 300 ≥ 0
Δ = 40² - 4x(-1)x(-300) = 1600 - 1200 = 400 = 20²
donc 2 racines : x₁ = (-40 - 20)/-2 = 30
et x₂ = (-40 + 20)/-2 = 10
⇒ B(x) = -(x - 10)(x - 30)
x 0 10 30 60
x-10 - 0 + +
x-30 - - 0 +
B(x) - 0 + 0 -
Donc B(x) ≥ 0 pour x ∈ [10;30]
b) production rentable ⇒ B(x) ≥ 0
donc production entre 10000 et 30000 objets
