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Bonsoir j ai un ptit souci de comprension de ces exercices pourriez vous m aider svp. C le 99 et le 100

Bonsoir J Ai Un Ptit Souci De Comprension De Ces Exercices Pourriez Vous M Aider Svp C Le 99 Et Le 100 class=

Sagot :

Alcide
Bonsoir
Exercice 99 :
1 °) Il faut juste remplacer t dans l'équation par 15 pour avoir le nombre de malades au bout de 15 jours :
f(15) = -30 Ă— 15² + 1200 Ă— 15 + 4000 = 15 250
Au bout de 15 jours, le nombre de personnes touchées est donc de 15 250.

2°) 10 % de la population reprĂ©sente 
[tex] \frac{130000}{10} = 13 000[/tex] habitants

Donc lorsque 10 % de la population sera touchĂ©e alors cela Ă©quivaut Ă  
f(t) = 13 000
soit -30 t² + 1200 t + 4000 = 13 000 â‡” - 30 t² + 1200 t - 9000 = 0
C'est une Ă©quation du second degrĂ© dont les solutions peuvent ĂŞtre dĂ©terminĂ©es par le calcul du discriminant Î”
Δ = b² - 4ac = 1200² - 4 Ă— (-30) Ă— (-9000) = 360 000
Comme Î” > 0,l'Ă©quation admet deux solutions.
[tex] x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{ Delta} }{2a} = \frac{-1200 + \sqrt{360 000} }{-2 * 30} [/tex]
[tex] x_{1} = 10[/tex]

[tex]x_{2} = \frac{-b- \sqrt{ Delta} }{2a} [/tex]
[tex] \frac{-1200 - \sqrt{360 000} }{-2 * 30}[/tex] 
[tex] x_{2} = 30[/tex]

La plus petite de ces 2 solutions Ă©tant 10, les crèches fermeront au 10ème jours car 10 % de la population sera alors touchĂ©e.

Exercice 100
1 °) On remplace  x par 0 dans l'Ă©quation pour vĂ©rifier que l'on n'obtient pas 0 : [tex] 0^{4} + 0^{3} + 0 + 1 = 1 [/tex]
Donc zéro n'est effectivement pas la solution.

2°) On sait que [tex]X = x + \frac{1}{x} [/tex]
Donc [tex]x \neq 0 [/tex]
sinon, il ne serait pas possible de mettre x au dénominateur. Ok ?

On part donc de l'Ă©quation 
X² + X - 2 = 0
oĂą on remplace X par [tex]x + \frac{1}{x} [/tex]
Ça donne :
[tex](x + \frac{1}{x} )^{2} + (x + \frac{1}{x} ) - 2 = 0 [/tex]
soit,en développant l'identité remarquable :
[tex]( x^{2} +2+ \frac{1}{x^{2} } ) + (x + \frac{1}{x} ) - 2 = 0[/tex]
[tex]x^{2} +2+ \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x} - 2 = 0[/tex]
[tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x} = 0[/tex]

Ensuite, on multiplie par [tex] x^{2} [/tex] de chaque cĂ´tĂ© du signe = de l'Ă©quation :
[tex] x^{2} (x^{2} + \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x}) = 0 . x^{2} [/tex]
soit  : [tex] x^{4} + 1 + x^{3} + x = 0 [/tex]
donc [tex]x^{4} + x^{3} + x + 1 = 0[/tex]

Donc on voit que si  [tex]X = x + \frac{1}{x}[/tex]
alors X² + X - 2 = 0 â‡” [tex]x^{4} + x^{3} + x + 1 = 0[/tex]

3°) Il faut rĂ©soudre (E') soit X² + X - 2 =0 
Calcul de Î” = b² - 4ac = 1 + 4Ă—2 = 9
Donc les solutions sont :
[tex] X_{1} = \frac{-1-3}{2} = (-2)[/tex]

et  [tex] X_{2} = \frac{-1+3}{2} = 1[/tex]

Pour rĂ©soudre l'Ă©quation (E), on sait que [tex]X = x + \frac{1}{x}[/tex]
Donc,il faut remplacer X par chacune des solutions trouvĂ©es pour (E')  et on aura x.
1er cas : Si X = (-2) alors [tex]x + \frac{1}{x} =(-2) [/tex]
Donc en multipliant chaque terme de l'Ă©quation par x :
[tex]x (x + \frac{1}{x}) =(-2)x[/tex]
[tex]x^{2} +1 = (-2)x[/tex]
[tex] x^{2} +2x+1 = 0[/tex]
Ici pas la peine de s’embĂŞter Ă  calculer le Î” car on remarque tout de suite :-) que 
[tex]x^{2} +2x+1[/tex] est une identité remarquable.

Donc l'Ă©quation devient [tex](x+1) ^{2} = 0 [/tex] donc x= (-1)

Donc lorsque X= (-2) alors x=(-1)

2ème cas : si X = 1 alors [tex]x + \frac{1}{x} = 1 [/tex]
Donc, mĂŞme mĂ©thode que pour le cas prĂ©cĂ©dent : je multiplie par [tex]x[/tex] tous les termes de l'Ă©quation et on obtient :
[tex] x^{2} +1 = x [/tex]
soit [tex] x^{2} -x+1=0[/tex]
On calcule Î” = b² - 4ac = 1 - 4Ă—1Ă—1 = (-3)

Δ<0 donc pas de solution à (E) lorsque X = 1

Donc nous n'avons trouvé qu'une solution à (E) : x=(-1)

4°) On reprend le même cheminement que sur la question précédente.
Pour démontrer que (E') et (E) sont équivalente, je remplace
X par [tex]x + \frac{1}{x} [/tex] dans (E'), je dĂ©veloppe et j’aboutirai Ă  (E) :

X² - X + 1 = 0
⇔ [tex](x + \frac{1}{x} ) ^{2} -(x + \frac{1}{x})+1 = 0 [/tex]
⇔ [tex] (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} })-x- \frac{1}{x} + 1 = 0 [/tex]
⇔ [tex]x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} + 1 = 0[/tex]
⇔ [tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} +3 = 0[/tex]

A ce niveau,on multiplie tous les termes de l'Ă©quation par [tex] x^{2} [/tex] pour se dĂ©barrasser des dĂ©nominateurs :
[tex] x^{2} (x^{2} + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} +3) = 0 x^{2} [/tex]
Donc [tex]x^{4} +1 - x^{3} -x+3 x^{2} = 0[/tex]
⇔ [tex]x^{4}- x^{3}+3 x^{2}-x+1 = 0[/tex]

On est arrivé à (E) :-)

Nous avons donc démontré que (E) et (E') sont équivalentes.
Nous allons donc résoudre (E') puis, dans un second temps trouver les solutions pour (E) à partir de celles de (E') :

Solution de (E') : X² - X +1 = 0
PlutĂ´t que de tout refaire, nous avons dĂ©jĂ  travaillĂ© sur cette Ă©quation Ă  la question 3°) et nous avions vu que Î” = -3 donc (E') n'a pas de solution...

Donc ici,(E) n'a pas non plus de solution.
Et, effectivement, si  on trace la courbe (sur une calculatrice ou sur un logiciel de gĂ©omĂ©trie dynamique), elle ne croise jamais l'axe des abscisses...










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