Bonsoir
Exercice 99 :
1 °) Il faut juste remplacer t dans l'équation par 15 pour avoir le nombre de malades au bout de 15 jours :
f(15) = -30 × 15² + 1200 × 15 + 4000 = 15 250
Au bout de 15 jours, le nombre de personnes touchées est donc de 15 250.
2°) 10 % de la population représente
[tex] \frac{130000}{10} = 13 000[/tex] habitants
Donc lorsque 10 % de la population sera touchée alors cela équivaut à
f(t) = 13 000
soit -30 t² + 1200 t + 4000 = 13 000 ⇔ - 30 t² + 1200 t - 9000 = 0
C'est une équation du second degré dont les solutions peuvent être déterminées par le calcul du discriminant Δ
Δ = b² - 4ac = 1200² - 4 × (-30) × (-9000) = 360 000
Comme Δ > 0,l'équation admet deux solutions.
[tex] x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{ Delta} }{2a} = \frac{-1200 + \sqrt{360 000} }{-2 * 30} [/tex]
[tex] x_{1} = 10[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b- \sqrt{ Delta} }{2a} [/tex]
[tex] \frac{-1200 - \sqrt{360 000} }{-2 * 30}[/tex]
[tex] x_{2} = 30[/tex]
La plus petite de ces 2 solutions étant 10, les crèches fermeront au 10ème jours car 10 % de la population sera alors touchée.
Exercice 100
1 °) On remplace x par 0 dans l'équation pour vérifier que l'on n'obtient pas 0 : [tex] 0^{4} + 0^{3} + 0 + 1 = 1 [/tex]
Donc zéro n'est effectivement pas la solution.
2°) On sait que [tex]X = x + \frac{1}{x} [/tex]
Donc [tex]x \neq 0 [/tex]
sinon, il ne serait pas possible de mettre x au dénominateur. Ok ?
On part donc de l'équation
X² + X - 2 = 0
où on remplace X par [tex]x + \frac{1}{x} [/tex]
Ça donne :
[tex](x + \frac{1}{x} )^{2} + (x + \frac{1}{x} ) - 2 = 0
[/tex]
soit,en développant l'identité remarquable :
[tex]( x^{2} +2+ \frac{1}{x^{2} } ) + (x + \frac{1}{x} ) - 2 = 0[/tex]
[tex]x^{2} +2+ \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x} - 2 = 0[/tex]
[tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x} = 0[/tex]
Ensuite, on multiplie par [tex] x^{2} [/tex] de chaque côté du signe = de l'équation :
[tex] x^{2} (x^{2} + \frac{1}{x^{2} } + x + \frac{1}{x}) = 0 . x^{2} [/tex]
soit : [tex] x^{4} + 1 + x^{3} + x = 0 [/tex]
donc [tex]x^{4} + x^{3} + x + 1 = 0[/tex]
Donc on voit que si [tex]X = x + \frac{1}{x}[/tex]
alors X² + X - 2 = 0 ⇔ [tex]x^{4} + x^{3} + x + 1 = 0[/tex]
3°) Il faut résoudre (E') soit X² + X - 2 =0
Calcul de Δ = b² - 4ac = 1 + 4×2 = 9
Donc les solutions sont :
[tex] X_{1} = \frac{-1-3}{2} = (-2)[/tex]
et [tex] X_{2} = \frac{-1+3}{2} = 1[/tex]
Pour résoudre l'équation (E), on sait que [tex]X = x + \frac{1}{x}[/tex]
Donc,il faut remplacer X par chacune des solutions trouvées pour (E') et on aura x.
1er cas : Si X = (-2) alors [tex]x + \frac{1}{x} =(-2) [/tex]
Donc en multipliant chaque terme de l'équation par x :
[tex]x (x + \frac{1}{x}) =(-2)x[/tex]
[tex]x^{2} +1 = (-2)x[/tex]
[tex] x^{2} +2x+1 = 0[/tex]
Ici pas la peine de s’embêter à calculer le Δ car on remarque tout de suite :-) que
[tex]x^{2} +2x+1[/tex] est une identité remarquable.
Donc l'équation devient [tex](x+1) ^{2} = 0 [/tex] donc x= (-1)
Donc lorsque X= (-2) alors x=(-1)
2ème cas : si X = 1 alors [tex]x + \frac{1}{x} = 1 [/tex]
Donc, même méthode que pour le cas précédent : je multiplie par [tex]x[/tex] tous les termes de l'équation et on obtient :
[tex] x^{2} +1 = x [/tex]
soit [tex] x^{2} -x+1=0[/tex]
On calcule Δ = b² - 4ac = 1 - 4×1×1 = (-3)
Δ<0 donc pas de solution à (E) lorsque X = 1
Donc nous n'avons trouvé qu'une solution à (E) : x=(-1)
4°) On reprend le même cheminement que sur la question précédente.
Pour démontrer que (E') et (E) sont équivalente, je remplace
X par [tex]x + \frac{1}{x} [/tex] dans (E'), je développe et j’aboutirai à (E) :
X² - X + 1 = 0
⇔ [tex](x + \frac{1}{x} ) ^{2} -(x + \frac{1}{x})+1 = 0 [/tex]
⇔ [tex] (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} })-x- \frac{1}{x} + 1 = 0 [/tex]
⇔ [tex]x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} + 1 = 0[/tex]
⇔ [tex]x^{2} + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} +3 = 0[/tex]
A ce niveau,on multiplie tous les termes de l'équation par [tex] x^{2} [/tex] pour se débarrasser des dénominateurs :
[tex] x^{2} (x^{2} + \frac{1}{x^{2} }-x- \frac{1}{x} +3) = 0 x^{2} [/tex]
Donc [tex]x^{4} +1 - x^{3} -x+3 x^{2} = 0[/tex]
⇔ [tex]x^{4}- x^{3}+3 x^{2}-x+1 = 0[/tex]
On est arrivé à (E) :-)
Nous avons donc démontré que (E) et (E') sont équivalentes.
Nous allons donc résoudre (E') puis, dans un second temps trouver les solutions pour (E) à partir de celles de (E') :
Solution de (E') : X² - X +1 = 0
Plutôt que de tout refaire, nous avons déjà travaillé sur cette équation à la question 3°) et nous avions vu que Δ = -3 donc (E') n'a pas de solution...
Donc ici,(E) n'a pas non plus de solution.
Et, effectivement, si on trace la courbe (sur une calculatrice ou sur un logiciel de géométrie dynamique), elle ne croise jamais l'axe des abscisses...
