Bonjour,
Ex 2)
Au rang 1 : 1² = 1
et 1(1 + 1)(2x1 + 1)/6 = 6/6 = 1
donc propriété vérifiée au rang 1
On suppose la propriété vraie au rang n
Au rang n+1 :
1² + 2² + ...+ n² + (n + 1)² = n(n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1)² (par hypothèse de récurrence)
= [n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)(n + 1)]/6
= [(n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]/6
= (n + 1)(2n² + 7n + 1)/6
= (n + 1)(n + 2)(2n + 3)/6
= (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)/6
donc propriété héréditaire
Ex 3)
U₁ = 1/1³ = 1 et 2 - 1/1 = 1 donc U₁ ≤ 2 - 1/1
Propriété vérifiée au rang 1
On suppose vraie au rang n
Au rang n + 1 :
Un+1 = 1/1³ + 1/2³ + .... + 1/n³ + 1/(n + 1)³
= Un + 1/(n + 1)³
∀ n ∈ N / n ≥ 1, (n + 1) ≥ 2
⇒ (n + 1)³ ≥ 8
⇒ 1/(n + 1)³ ≤ 1/8
⇒ Un+1 = Un + 1/(n + 1)³ ≤ (2 - 1/n) + 1/8
2 - 1/n + 1/8 = 2 - 1/n - 1/(n + 1) + 1/(n + 1) + 1/8
⇔ 2 - 1/n + 1/8 = 2 - 1/(n + 1) - [1/n - 1/(n + 1) + 1/8]
Or : 1/n - 1/(n + 1) + 1/8
= [8(n + 1) - 8n + n(n + 1)]/8n(n + 1)
= (8n + 8 - 8n + n² + 1)/8n(n + 1)
= (n² + 9)/8n(n + 1) donc > 0
⇒ 2 - 1/n + 1/8 < 2 - 1/(n + 1)
⇒ Un+1 ≤ 2 - 1/(n + 1)
donc propriété héréditaire
2) Un+1 - Un = ...
3) lim Un+1 = lim Un
Un+1 ≤ 2 - 1/(n +1)
Un ≤ 2 - 1/n
...
