Bonjour,
Ex 1)
Un = (n² + 1)/2n n ≥ 1
Un+1 = [(n + 1)² + 1]/2(n + 1)
Un+1 - Un
= [(n + 1)² + 1]/2(n + 1) - (n² + 1)/2n
= n[(n + 1)² + 1]/2n(n + 1) - (n + 1)(n² + 1)/2n(n + 1)
= [(n + 1)[n(n +1) - (n² +1)] + n]/2n(n +1)
= [(n +1)(n² + n - n² - 1) + n]/2n(n +1)
= [(n +1)(n - 1) + n]/2n(n +1)
= [n² + n - 1]/2n(n + 1)
∀n ≥ 1, n² + n - 1 > 0
⇒ Un+1 - Un > 0
⇒ (Un) croissante
2) Par l'absurde : Supposons qu'il existe n ≥ 1 tel que Un ≥ 1
soit (n² + 1)/2n² ≥ 1
⇔ n² + 1 ≥ 2n²
⇔ n² - 1 ≤ 0
⇔ (n - 1)(n + 1) ≤ 0
n 1 +∞
n + 1 +
n - 1 0 +
donc ∀ n ≥ 1, (n - 1)(n + 1) ≥ 0
⇒ Un ≤ 1
3) lim Un quand n→+∞ = lim (n² + 1)/2n² = lim n²/2n² = 1/2
Ex 2)
1) Un = (2n - 1)/(n + 1) pour tout n ∈ N
Un+1 = (2(n+1) - 1)/(n + 1 + 1) = (2n + 1)/(n + 2)
Un+1 - Un
= (2n +1)/(n + 2) - (2n - 1)/(n + 1)
= [(n + 1)(2n + 1) - (n + 2)(2n - 1)]/(n + 1)(n + 2)
= [2n² + n + 2n + 1 - 2n² + n - 4n + 2]/(n +1)(n + 2)
= 3/(n + 1)(n + 2)
donc Un+1 - Un > 0 et (Un) croissante
2) ..
3) Un = (2n - 1)/(n + 1)
= [2(n + 1) - 3]/(n + 1)
= 2 - 3/(n + 1)
⇒ Un ≤ 2
(Un) croissante ⇒ Un ≥ U₀ et U₀ = -1
Donc -1 ≤ Un ≤ 2
3) Un = 1,5
⇔ 2n - 1 = 1,5(n + 1)
⇔ 0,5n = 2,5 soit n = 5
(Un) croissante ⇒ ∀ n > 5, Un > U₅
et Un < 2
Donc à partir du rang n = 5, 1,5 ≤ Un < 2
