f(x) = 3(x - 1)(2x + 1) - x(2x + 1) ..............(Forme 1)
1) démontrer que f(x) = 4x² - 4x - 3 (forme 2)
f(x) = 3(x - 1)(2x + 1) - x(2x + 1)
= 3(2x² + x - 2x - 1) - 2x² - x
= 6x² - 3x - 3 - 2x² - x
= 4x² - 4x - 3
2) factoriser f(x) = 3(x - 1)(2x + 1) - x(2x + 1)
= (2x + 1)[(3(x - 1) - x)
= (2x + 1)(3x - 3 - x)
= (2x + 1)(2x - 3) ...............Forme 3
3) démontrer que f(x) = (2x - 1)² - 4
f(x) = 4x² - 4x - 3 - 1 + 1
= (4x² - 4x + 1) - 4
a² - 2ab + b² = (a - b)² identité remarquable
a² = 4x² ⇒a = 2x
b² = 1 ⇒ b = 1
2ab = 2(2x)*1 = 4x
donc 4x² - 4x + 1 = (2x - 1)²
f(x) =(2x - 1)² - 4....................Forme 4
4) a. calculer l'image de √3 par f
on utilise la forme 2 qui est la plus adaptée
f(√3) = 4(√3)² - 4√3 - 3 = 12 - 4√3 - 3 = 9 - 4√3
b. Calculer l'image de 3/2 par f
on utilise la forme 2 qui est la plus adaptée
f(3/2) = 4(3/2)² - 4(3/2) - 3
= 4 *9/4 - 12/2 - 3
= 9 - 6 - 3 = 0
f(3/2) = 0
c. déterminer les antécédents éventuels de 0 par f
on utilise la forme 3 qui est la plus adaptée
f(x) = 0 = (2x + 1)(2x - 3)
2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2
2x - 3 = 0 ⇒ x = 3/2
d. déterminer les antécédents de - 3 par f
on utilise la forme 2 qui est la plus adaptée
f(x) = - 3 = 4x² - 4x - 3
4x² - 4x = 0
4x(x - 1) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1
e) résoudre dans R f(x) = 5
on utilise la forme 4 qui est la plus adaptée
f(x) = 5 = (2x - 1)² - 4
(2x - 1)² - 9 = 0
(2x - 1)² - 3² = 0 identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b)
(2x - 1 + 3)(2x - 1 - 3) = 0
(2x + 2)(2x - 4) = 0
2(x + 1)(x - 2) = 0 ⇒x = - 1 ou x = 2