Bonjour,
On pose:
[tex]P(z)=z^3-(2+i)z^2+(2+i)z-(1+i)=0\\\\
Les\ diviseurs\ de\ P(x)\ sont\ les\ diviseurs\ de\ 1+i.\\\\
(1+i)^1=1+i\\
(1+i)^2=1-1+2i=2i\\
(1+i)^3=(1+i)*2i=-2+2i\\\\
P(1+i)=(1+i)^3-(2+i)*(1+i)^2+(2+i)*(1+i)-(1+i)\\
=-2+2i-(2+i)*2i+(2+i)(1+i)-(1+i)\\
=-2+2i-4i+2 +2+2i+i-1-1-i\\
=0+0i=0\\\\
[/tex]
On effectue la loi d'Horner pour z=1+i
[tex] \begin{array}{c|cccc}&z^3&z^2&z&1\\\\&1&-2-i&2+i&-1-i\\\\
z=1+i&&1+i&-1-i&1+i&\\&1&-1&1&0\end{array}\right| \\\\
0=P(z)=z^3-(2+i)z^2+(2+i)z-(1+i)=(z-(1+i))(z^2-z+1)\\\\
\boxed{=(z-1-i)(z- \dfrac{1- i*\sqrt{3}}{2} )(z- \dfrac{1+ i*\sqrt{3}}{2} )}\\\\
[/tex]
