Bonjour ;
Soient n ; n + 1 et n + 2 les trois nombres entiers naturels consécutifs .
Soit S leur somme , donc : S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) ;
et P leur produit , donc : P = n(n + 1)(n + 2) .
On a : P = 5 S ;
donc : n(n + 1)(n + 2) = 5 x 3(n + 1) = 15(n + 1) ;
donc : n(n + 2) = 15 ( on a divisé par (n + 1)) .
Pour trouver la solution , on procède (si on veut) par tâtonnement
ou on résout l'équation : n(n + 2) = 15 .
Première méthode (par tâtonnement) .
On remarque que pour n = 3 , on a : 3(3 + 2) = 15 ;
donc les trois nombres entiers naturels recherchés sont :
n = 3 ; n + 1 = 4 et n + 2 = 5 .
Deuxième méthode (résolution de l'équation : n(n + 2) = 15) .
n(n + 2) = 15 ;
donc : n² + 2n = 15 ;
donc : n² + 2n - 15 = 0 ;
donc : n² + 5n - 3n - 15 = 0 ;
donc : n(n + 5) - 3(n + 5) = 0 ;
donc : (n + 5)(n - 3) = 0 ;
donc : n + 5 = 0 ou n - 3 = 0 ;
donc : n = 3 ou n = - 5 (solution à écarter si on travaille sur N) ;
donc : n = 3 ;
donc les trois nombres entiers naturels recherchés sont :
n = 3 ; n + 1 = 4 et n + 2 = 5 .
