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Bonjour, je suis en 2nde et j'ai ce problème à resoudre. Merci de m'aider à expliquer correctement:
Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses, puis justifier:
Si f est une fonction linéaire alors, pour tous nombres u et v, f (u+v)=f (u)+f (v)
Si f est une fonction affine alors, pour tous nombres u et v, f (u+v)=f (u)+f (v)

Sagot :

Geijutsu
Bonjour,

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Rappel de cours :
Soit (a,b)∈ℝ²
f fonction linéaire définie par f(x) ⇔ f est de la forme ax
f fonction affine définie par f(x) ⇔ f est de la forme ax+b
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Proposition 1 : "f fonction linéaire ⇒ ∀(u,v)∈ℝ², f(u+v) = f(u)+f(v)"
Soient f une fonction linéaire, et a∈ℝ
Donc f(u+v) = a(u+v) = au+av = f(u)+f(v)
Donc la proposition est vraie.

Proposition 2 : "f fonction affine ⇒ ∀(u,v)∈ℝ², f(u+v) = f(u)+f(v)"
Soient f une fonction affine, et (a,b)∈ℝ²
On suppose que ∀(u,v)∈ℝ², f(u+v) = f(u)+f(v)
Or f(u+v) = a(u+v)+b = au+av+b
Et f(u)+f(v) = (au+b)+(av+b) = au+av+2b
D'où au+av+b = au+av+2b ⇔ b = 2b ⇔ 1 = 2
Il y a donc absurdité.
Donc la proposition est fausse.

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