Plusieurs méthodes sont possibles, en voici une :
La fonction affine f(x) = 3 - x est décroissante car son coefficient directeur est négatif (ici il vaut -1).
Cela signifie que : si a et b sont deux réels de l'intervalle ]3 ; +infini[ alors :
3 < a < b entraine f(3) > f(a) > f(b) car une fonction décroissante renverse l'ordre.
or f(3) = 0 ce qui signifie du coup que f(a) et f(b) sont tous les deux strictement négatifs.
Or, on sait que, sur les nombres négatifs, la fonction inverse (x ---> 1/x) est décroissante donc :
si f(a) > f(b) alors 1/f(a) < 1/f(b)
donc 1/(3-a) < 1/(3-b) donc u(a) < u(b).
Ainsi, en résumé, nous sommes partis de deux réels a et b appartenant à l'intervalle ]3 ; +infini[ et on vient de prouver que :
Si a < b alors u(a) < u(b) (autrement dit la fonction u conserve l'ordre sur cet intervalle)...
Ainsi, la fonction u est croissante sur ]3 ; +infini[.
