1a) le nb de bactéries démarre doucement, puis quand elles ont trouvé
de quoi boire et manger, elles se multiplient de façon quasi-linéaire .
Mais on sait que lorsque la réserve de nourriture sera en voie
d' épuisement, elles se multiplieront beaucoup moins, il y aura donc
apparition d' un palier horizontal, puis les bactéries finiront par mourir
sans se multiplier, il y aura donc une baisse ( courbe qui descendra ) .
1b) f '(1,5) = 10 environ ( 20,25 millions bact / 2 heures = 10,125 )
f '(2) = zéro
2a) f(t) = -4,5 t3 + 13,5 t² + 2 ( 2 millions de bactéries au départ ! )
f '(t) = -13,5 t² + 27t = 13,5t ( 2 - t )
cette dérivée est nulle pour t = zéro OU pour t = 2 ( heures ! )
2b) on retrouve bien les résultats du 1b)
3ab) on veut -13,5 t² + 27t = 10,125 donc -13,5 t² + 27t - 10,125 = 0
donc t² - 2t + 0,75 = 0
donc ( t - 1 )² - 0,25 = 0
donc ( t - 1 )² - 0,5² = 0
donc ( t - 1 + 0,5 ) ( t - 1 - 0,5 ) = 0
donc ( t - 0,5 ) ( t - 1,5 ) = 0
d' où t = 0,5 OU t = 1,5 ( heure ! )
conclusion :
on a bien une tangente parallèle à Ta au point R ( 0,5 ; 4,8125 )
3c) le nb de bactéries croît donc à toute vitesse, puis atteint un palier,
et enfin baissera ...
4a) calcul de la tangente en S ( 1 ; 11 ) :
f '(1) = 13,5 donc les coordonnées de S vérifient l' éq. de la tangente :
y = 13,5 t + b devient 11 = 13,5 + b d' où b = -2,5
conclusion : éq de la tangente en S ( 1 ; 11 ) est y = 13,5 t - 2,5
4b) position de cette tangente par rapport à la Courbe :
- la tangente est SOUS la courbe pour t < 1
- la tangente est AU-DESSUS de la courbe pour t > 1
4c) au point S, le nombre de bactéries cesse de croître beaucoup
et on se dirige vers le fameux palier .
4d) f(t) - ( 13,5t - 2,5 ) = -4,5 ( t - 1 )au cube ??
f(t) - 13,5t + 2,5 = -4,5 t3 + 13,5 t² + 2 - 13,5t + 2,5
= -4,5 t3 + 13,5 t² - 13,5t + 4,5
= -4,5 ( t3 - 3 t² + 3t - 1 )
= -4,5 ( t - 1 )au cube vérification ok !
4e) l' équation de la Courbe moins l' équation de la tangente
= -4,5(t-1)au cube
- si t < 1 ; l' expression ci-dessus est POSITIVE ,
donc la Courbe est AU-DESSUS de la tangente
- si t > 1 ; l' expression est négative,
donc la Courbe est au-dessous de la tangente !
Conclusion : on prouve ainsi la conjecture du 4b) !
