Bonjour,
1) Repère (K;KB,KA)
K(0;0), B(1;0), A(0;1)
K milieu de [BC] ⇒ C(-1;0)
KI = 1/2KB + 1/2KA
et KI(xI;yI) ⇒ xI = 1/2 et yI = 1/2 ⇒ I(1/2;1/2)
KJ = -1/2KB + 1/2KA
et KJ(xJ;yJ) ⇒ xJ = -1/2 et yI = 1/2 ⇒ J(-1/2;1/2)
2) équation de la droite (KA) : x = 0
équation de (BJ) : y = ax + b
B(1;0) ∈ (BJ) ⇒ a + b = 0 (1)
J(-1/2;1/2) ∈ (BJ) ⇒ 1/2 = -a/2 + b ⇔ 1 = -a + 2b (2)
(1) ⇒ a = -b
(2) ⇔ 1 = 3b ⇔ b = 1/3
⇒ (BJ) : y = -x/3 + 1/3
G = (BJ) ∩ (KA) ⇒ G(0;1/3)
3) CI(1/2 - (-1) ; 1/2 - 0) soit CI(3/2;1/2)
CG(0 - (-1) ; 1/3 - 0) soit CG(1 ; 1/3)
⇒ 3/2 * CG = CI
⇒ CG et CI colinéaires
⇒ C, G et I alignés
⇒ G ∈ (CI)
4) ...que G est l'intersection des médianes
donc que G est le centre de gravité de ABC
5) AG(0;1/3 - 1) ⇒ AG = 2/3 * AK ⇒ k = 2/3
BG(1/3 - 1; 0) ⇒ ... BG = 2/3 * BJ ⇒ k' = 2/3
et ... k" = 2/3
G se trouve au 2/3 de chaque médiane en partant de leur sommet respectif
