Bonjour,
Partie A
1) sur I = [0;1]
f'(x) = (3x² + 1)/2 donc > 0 sur I ⇒ f croissante sur I
g'(x) = (eˣ + 1)/e donc > 0 sur I ⇒ g croissante sur I
x 0 1
f'(x) +
f(x) croissante
g'(x) +
g(x) croissante
2)
f"(x) = 6x/2 = 3x donc ≥ 0 sur I ⇒ f convexe
g"(x) = eˣ/e donc ≥ 0 sur I ⇒ g convexe
3) a) f(0) = 0 et f(1) = 1
f(x) - x = (x³ + x)/2 - x
= (x³ + x - 2x)/2
= (x³ - x)/2
= x(x - 1)(x + 1)/2
Sur I, x ≥ 0 et (x + 1) ≥ 0
Donc f(x) - x est du signe de (x - 1), et donc ≤ 0
Soit : f(x) - x ≤ 0 ⇔ f(x) ≤ x
⇒ Cf est en-dessous de la droite d'équation y = x sur I
b) g(0) = 0 et g(1) = 1
g(x) - x = (eˣ - 1 + x)/e - x
= (eˣ - 1 + x - ex)/e
= [eˣ - 1 + x(1 - e)]/e
On ne sait pas trop déterminer le signe de cette expression. Donc on raisonne autrement :
On sait que qu'aux points d'abscisses x = 0 et x = 1, g(x) = x
Et on sait que g est convexe sur I
Donc, on peut en déduire que g(x) ≤ x sur I
4) ci-joint
Partie B
ah bah non ça s'arrête là
