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Preuve par récurrence d'une égalité de deux suites:
J'ai:
[tex]\left \{ {{u_n=1} \atop {u_{n+1}=2u_n+1} \right. [/tex]
et
[tex]v_{n}=2^{n+1}-1[/tex]
Je souhaite donc prouver que [tex]u_{n+1}=v_n[/tex]. Je pense qu'il faut utiliser un résonement par récurrence:
[tex]1.\ Init: n=0\\ u_{n+1} = u_{1} = 1\\ v_n = 2^{0+1}-1 = 1\\ 2. Recurrence: \forall n \in \mathbb{N}, n \to n+1[/tex]
C'est ici ou je bloque, je ne vois pas trop ou je dois aller maintenant...
récurrence : P(n) : "pour tout entier n : u(n)=v(n)"
initialisation : u(0)=1 et v(0)=1 ⇒ P(0) est vraie
hérédité : supposons qu'il existe un entier k tel que P(k) vraie ⇒ u(k)=v(k) ⇒ u(k+1)=2*u(k)+1=2*v(k)+1=2*(2^(k+1)-1)+1=2^(k+2)-1=v(k+1) ⇒ P(k+1) est vraie
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