Bonjour,
1)
i) AS s'appelle la droite génératrice du cône
ii) a = AS = 10 car le cône est construit à partir d'un disque de rayon AS = 10.
Quand α = 360° ou 2π, h = 0
et quand α = 0° h = AS = BS = 10
donc 0 ≤ h ≤ 10
iii) V = 1/3 x π x r² x h
iv) OAS est rectangle en O ⇒ r² + h² = a²
v) on en déduit : r² + h² = 10² = 100
⇒ r² = 100 - h²
⇒ V = 1/3 x π x (100 - h²) x h = πh(100 - h²)/3
2)
i) V'(h) = π/3 x [(100 - h²) + h x (-2h)] = π/3 x (100 - 3h²)
ii) V'(h) = 0
⇒ 100 - 3h² = 0
⇔ h² = 100/3
⇒ sur [0;10], h = 10/√3 (≈ 5,77)
h 0 10/√3 10
V'(h) + 0 -
V(h) croissante décroissante
V(0) = 0
V(10) = 0
iii) V(h) est maximum pour hmax = 10/√3
et V(10/√3) = π x 10/√3 x (100 - 100/3)/3 = 2000π/9√3 (≈ 403)
3)
r² = 100 - h²
⇒ r = √(100 - h²) (car r ≥ 0)
soit, pour h = hmax, r = √(100 - 100/3) = √(200/3) = 10√(2/3)
⇒ Périmètre de la base du cône : P = 2πr = 20π√(2/3)
Périmètre du disque initial : P' = 2π x 10 = 20π
On en déduit :
α/2π = P/P' car P est la longueur de l'arc AB
Soit α = 2π x √(2/3)
ou α = 360 x √(2/3) soit α ≈ 294°
