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On munit  le plan d'un repère orthonormé direct (O ; i ; j).
A tout entier n on associe le point [tex]M_{n}[/tex] du cercle de centre O et de rayon [tex]\frac{8}{2^{n}}[/tex] tel que (i ; O[tex]M_{n}[/tex]) = n[tex]\frac{\pi}{2}[/tex].
 
1. (a) En prenant un centimètre (ou un carreau) comme unité, comstruire les points [tex]M_{0}, M_{1}, M_{2} et M_{3}, [/tex].
 
(b) quelles sont les coordonnées de ces points dans le repère (O ; i ; j) ?
 
2. (a) Quelle est la nature du triangle [tex]OM_{n}M_{n+1}[/tex] ? Justifier.
(b) A l'aide di theoreme de Pythagore, démontrer que  [tex]M_{n}M_{n+1 = \frac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}[/tex]
 
3. On considere la suite (Un) définie, pour tout n appartenant à N, par Un = [tex]M_{n}M_{n+1}[/tex].
Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le terme initial.
 
4. On pose, pour tout n appartenant à N, [tex]l_{n} = \sum_{i=0}^{n}u_{i} = u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}[/tex].
Démontrer que, pour tout n appartenant à N, [tex]l_{n}=8\sqrt{5}(1-\frac{1}{2^{n+1}})[/tex].
 
 
UN GRAND MERCI A CEUX QUI M'AIDERONT !!!

Sagot :

Croisierfamily
tableau :
                   Mo                M1               M2                M3                   M4
Rayon          8                  4                  2                     1                    0,5
angle           0                  π/2               π                  3π/2                   0
coord.       (8;0)               (0;4)            (-2;0)            (0;-1)                (0,5;0)

2a) comme on tourne d' un quart de tour pour passer d' un point au suivant,
          on a bien un triangle rectangle !
2b) (MnMn+1)² = (8/2∧n)² + (8/2∧(n+1))² = 64/2∧2n + 64/2∧(2n+2)
                         = (2² x 64 + 64) / 2∧(2n+2)
                         = 64 x 5 / 2∧(2n+2)
      d' où MnMn+1 = 8√5 / 2∧(n+1)
3°) Uo = MoM1 = 4√5 ; U1 = 2√5 ; U2 = √5 ; U3 = 0,5√5 ; U4 = 0,25√5 ; ...
      on peut donc conjecturer que la suite (Un) est une suite géométrique
       de terme initial Up = 4√5 et de raison "q" = 0,5 . Démontrons-le :
     Mn-1Mn = 8√5/2∧n = 16√5/2∧(n+1) = 2 * MnMn+1
         donc on a bien Un = 0,5*Un-1
4°) So = Uo = 4√5 ; S1 = Uo + U1 = 6√5 ; S2 = Uo + U1 + U2 = 7√5 ; ...
      d' après le cours qui donne la somme des termes
                                                         d' une suite géométrique :
      Sn = 4√5 * ( 1 - 0,5∧n ) / 0,5 = 8√5 * ( 1 - 0,5∧n )
        remarque : pourquoi 2 puissance (n+1) dans ton texte, puisque je trouve seulement 0,5 puissance n qui est égal à 1/(2 puissance n)   ?
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