Explications :Soit X la variable aléatoire de densité f(t)=1/√(2π).exp(-1/2t²)
la fonction de répartition associée à f est : Ф(t)=∫f(t).dt sur ]-∞;t]
On note X1 et X2 2 v.a. de densité f1 et f2 suivant une loi Normale centrée-réduite N(0,1)
on suppose que X1 et X2 sont indépendantes
on note Z=min(X1,X2)
la fonction de répartition de Z est (par définition) :
F(t)=P(Z≤t)=1-P(Z>t)
donc F(t)=1-P(min(X1,X2)>t)
or on sait que min(a,b)<a et min(a,b)<b
donc F(t)=1-P((X1>t)∩(X2>t))
or P(A∩B)=P(A)*P(B) si A et B sont indépendantes
donc F(t)=1-P(X1>t)*P(X2>t)
de plus X1 et X2 suivent une loi N(0,1)
donc P(X1≤t)=P(X2≤t)=Ф(t)
donc P(X1>t)=P(X2>t)=1-Ф(t)
donc F(t)=1-(1-Ф(t))²
donc F(t)=1-(Ф²(t)-2Ф(t)+1)
soit
F(t)=-Ф²(t)+2Ф(t)
