Bonsoir,
Exercice 1
A priori le schéma fait penser à une configuration Thalès...
1) Calculer DM
Dans le triangle FDM rectangle en D
On utilise le théorème de Pythagore → FM² = FD² + DM²
DM² = FM² - FD²
DM² = 10² - 6²
DM² = 100 - 36
DM = √64
DM = 8
La mesure de DM est égale à 8 km → par conséquent on peut en déduire que MA étant égale à 2 fois DM alors MA = 8 × 2 = 16 km
2) Calculer AG et FG
Utilisons le théorème de Thalès puisque nous avons :
- deux sécantes en D,
- trois points alignés D, M et A puis D, F et G dans le même sens,
- deux droites parallèles : (FM) // (GA)
DM/MA = DF/FG = FM/GA
8/16 = 6/FG = 10/GA
Produit en croix pour calculer AG
GA = 10 × 16 ÷ 8 = 20
Produit en croix pour calculer FG
FG = 6 × 16 ÷ 8 = 160 ÷ 8 = 12
La mesure de AG est 20 km et celle de FG est de 12 km.
3) La longueur de la régate est DM + MF + FG + GA
Longueur : 8 + 10 + 12 + 20 = 50
La longueur de la régate est de 50 km.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 2
Trajet 1
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle MDC rectangle en C
MD² = MC² + CD²
MD² = 20² + 15²
MD² = 400 + 225
MD² = √625
MD = 25
La distance MD mesure 25 m
Le maître nageur court sur une distance de 25 mètres à la vitesse de 5 m/s, Temps = Distance ÷ Vitesse
Temps = 25 ÷ 5
Temps = 5 secondes
Par ailleurs, on a :
- les points M, D et B d'une part et M, C et F d’autre part sont des points alignés dans le même sens.
- Les droites (GC) et (BF) sont perpendiculaires à une même troisième droite (MF) alors on peut en déduire qu'elles sont parallèles entre elles d'où (GC) // (BF) et donc (DC) // (BF)
On est en configuration Thalès, on peut poser les rapports suivants :
MC/MF = MD/MB = DC/BF
On remplace par les valeurs que l'on connaît :
20/44 = 25/DB = 15/BF
Produit en croix pour calculer DB
DB = 25 × 44 ÷ 20 = 1100 ÷ 20 = 55
La mesure de DB est de 55 m
⇒ La distance entre le maître nageur et le baigneur est 55 + 25 = 80 m
Le maître nageur nage sur une distance de 55 m
Temps = 55 ÷ 2,5
Temps = 22 secondes
5 secondes pour mettre les palmes
Temps que met le maître nageur à atteindre le baigneur :
Courir MD + mettre les palmes + nager DN
5 + 5 + 22
5 + 5 + 22 = 32 s
⇒ Le maître nageur met 32 secondes pour atteindre le baigneur par le trajet 1.
Trajet 2.
Le quadrilatère CFBG a trois angles droits, c'est donc un rectangle ainsi :
CG = BF et GB = CF = 44 m
Toujours en configuration Thalès, on pose les rapports suivants sachant que MF = MC + CF = 20 + 44 = 64, d'où :
MC/MF = MD/MB = DC/BF
20/64 = 25 / 80 = 15/BF
Calcul de BF avec le produit en croix :
25/80 = 15/BF
BF = 15 × 80 ÷ 25
BF = 1200 ÷ 25
BF = 48
La mesure de BF = GC est 48 m
Le maître nageur nage 44 mètres à la vitesse de 2,5 m/s,
Temps = 44 ÷ 2,5 = 17,6 secondes.
Le triangle MCG est rectangle en C.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
MG² = MC² + CG²
MG² = 20² + 48²
MG² = 400 + 2304
MG² = √2704
MG = 52
Le maître-nageur court sur une distance de 52 mètres à la vitesse de 5 m/s, soit Temps = 52 ÷ 5 = 10,4 secondes.
Le maître nageur a nagé 44 m à la vitesse de 2,5 m soit temps = 44 ÷ 2,5 = 17,6 ms
+ 5 secondes pour mettre les palmes.
Durée totale pour le trajet 2 :
10,4 + 5 + 17,6 = 33
⇒ Par le trajet n°2 le maître nageur mettra 33 secondes pour atteindre le baigneur.
Conclusion : Le trajet le plus rapide est le trajet n°1 avec 32 secondes contre 33 secondes pour le trajet n°2.
