Bonjour,
1) U2=U1+U0=0+1=1
U3=U2+U1=1+1=2
U4=U3+U2=1+2=3
U5=U4+U3=3+2=5
2) x²-x-1=0
Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-1)=5
α=(-b-√Δ)/2a=(1-√5)/2
β=(-b+√Δ)/2a=(1+√5)/2
3) Soit la suite:
Vn=λα^n+μβ^n
On cherche à montrer que cette suite est solution de U(n+2)=U(n+1)+U(n), on remplace U(n+1) et U(n) par V(n+1) et V(n)
V(n+1)+V(n)
=λα^(n+1)+μβ^(n+1)+λα^n+μβ^n
=λ(α^(n+1)+α^n)+μ(β^(n+1)+β^n)
=λα^n(α+1)+μβ^n(β+1) comme α et β solution de x²-x-1=0 donc x²=x+1 d'où:
=λα^n×α²+μβ^n×β²
=γα^(n+2)+μβ^(n+2)
=V(n+2)---->CQFD
La suite Vn est donc bien solution de (1)
4) Si V(0)=0 et V(1)=1, on a donc le système:
0=λα^0+μβ^0=μ+λ ⇒-λ=μ
1=λα^1+μβ^1=λα+μβ
donc:
1=λα-λβ
1=λ(α-β)
λ=1/(α-β)
λ=1/((1-√5)/2-(1+√5)/2)
λ=-1/√5
Il suit alors μ=1/√5
5) On remarque que la suite V(n) est la somme de 2 suites du type U(0)q^n donc il s'agit de la somme 2 suites géométriques donc:
S(n)=∑(1≤i≤n)λα^(i)μβ^(i))
S(n)=Σ(1≤i≤n)λα^(i)+Σ(1≤i≤n)μβ^(i)
S(n)=(-1/√5)×[(1-√5)/2]^n + (1/√5)×[(1+√5)/2]^n
