👤

Rejoignez la communauté FRstudy.me et obtenez les réponses dont vous avez besoin. Posez n'importe quelle question et recevez des réponses bien informées de notre communauté de professionnels expérimentés.

bonjour pouvez vous m'aider svp
J et K sont les intégrales définies par
J = intégrale de 0 à 1
[tex](2 + {x} ) {e}^{ - x} dx[/tex]
et K = intégrale de 0 à 1
[tex] {x}^{2} f(x)dx[/tex]


[tex]f(x) = \frac{{e }^{ - x} }{2 - x} [/tex]
Déterminer des nombres réels a et b pour lesquels la fonction G définie par G(x) =
[tex](ax + b) {e}^{ - x} [/tex]
Est une primitive de
[tex](2 + x) {e}^{ - x} [/tex]

En déduire que J= 3 - 4/e.


Sagot :

Bonjour

Soit G(x)= (ax+b)e^-x
Sa dérivée est :
[tex]G'(x)=ae^{-x}-(ax+b)e^{-x} \\ = e^{-x}*(a-ax-b)[/tex]

On veut que G(x ) soit la primitive de (2+x)e^-x, donc il faut que sa dérivée soit égale à (2+x)e^-x
Ainsi, par identiffication des coefficients nous avons:
[tex] \left \{ {{-a=1} \atop {a-b=2}} \right. \left \{ {{a=-1} \atop {-1-b=2}} \right. \left \{ {{a=-1} \atop {b=-3}} \right. [/tex]
Ainsi G(x)=(-x-3)e^-x

A présent nous pouvons calculer la primitive demandée
[tex] \int\limits^1_0 {(2+x)e^{-x}} \, dx \\ =\left[G(x)\right]_0^1 \\ =\left[(-3-x)e^{-x}\right]_0^1 \\ = [(-3-2)e^{-1}-(-3-0)e^{0}] \\ =[-4e^{-1}+3] \\ =3+ \frac{4}{e} [/tex]
Cordialement
RML