Bonsoir :)
1. Pour déterminer une équation d'un cercle, il te faut d'abord trouver les coordonnées de son centre puis son rayon.
Les coordonnées du centre sont assez triviales à trouver, puisque le centre est le milieu de [AB], soit [tex]D(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2} = D(0;\frac{1}{2})[/tex].
Ensuite, le rayon. Le diamètre du cercle est [AB], donc son rayon est [tex]\dfrac{AB}{2}[/tex].
La distance AB peut être trouvée avec le théorème de Pythagore (formule pour la distance entre deux points), on trouve [tex]AB = \sqrt{13}[/tex].
Ainsi le rayon du cercle est de : [tex]AD = \dfrac{\sqrt{13}}{2}[/tex].
On note aussi [tex]AD^2 = \dfrac{13}{4} = 3.25[/tex] (ça va nous servir).
Une équation du cercle est donc :
[tex]C : (x-0)^2 + (y-\dfrac{1}{2})^2 = r^2[/tex].
équivalente à :
[tex]C : x^2 + (y-\dfrac{1}{2})^2 = 3.25[/tex].
2. E est le point de concours des médiatrices du triangle ABC car c'est le centre du cercle circonscrit à ABC.
(Je ne sais pas comment ceux qui ont fait cet exercice ont osé donner ce genre de question qui est très longue à faire à la main pour une simple question...)
Bref, [tex]E(\dfrac{3}{2}; \dfrac{-1}{2})[/tex] (j'ai utilisé GeoGebra mais on peut vraiment le faire à la main si tu veux ^^) et donc l'équation du cercle C' :
[tex]C' : (x-\dfrac{3}{2})^2 + (y+\dfrac{1}{2})^2 = 6.5[/tex].
3. Si [tex]E \in C[/tex], alors [tex]DE = DA[/tex] (en gros E est à la même distance du centre de C que A car A est sur le cercle).
On peut calculer la distance DE en utilisant les coordonnées de ces deux points, et [tex]DE = \dfrac{\sqrt{13}}{2}[/tex]. Donc E est sur C.
4. La façon la plus simple de le démontrer est de dire que E est sur la médiatrice de [AB] puisque c'est le centre du cercle circonscrit de ABC (et que D est le milieu de [AB]), et donc que [AB] est perpendiculaire à (DE).
Si tu veux utiliser le produit scalaire, tu ne peux pas utiliser la forme avec le [tex]cos(\alpha)[/tex] car justement [tex]\alpha = \dfrac{\pi}{2}[/tex]... Tu dois donc utiliser une autre formule...
Désolé pour la réponse très vague, l'exercice est vraiment bizarre...
Bonne soirée :P
