Bonjour,
Ex 52:
1) Soit S(x) la surface d'une page, cette surface est donnée par la relation suivante:
S(x)=xy (1)
On peut l'exprimer cette surface autrement avec les donnée du texte par:
S(x)=300+4y+3x-4×1.5×2
S(x)=300+4y+3x-12
S(x)=3x+4y+288 (2)
Il n'y a plus qu'à remplacer S(x) par (1) dans (2):
xy=3x+4y+288
xy-4y=3x+288
y(x-4)=3x+288
y=(288+3x)/(x-4)---->CQFD
2) on sait que:
S(x)=xy
On remplace y par son expression donc:
S(x)=x(288+3x)/(x-4)
S(x) est définie si et seulement si x-4≠0 donc si x≠4, on en déduit alors son domaine de définition Df qui est:
Df=[0;4[U]4;+∞[
Nous allons calculer la dérivée S' de S:
S(x)=x(288+3x)/(x-4)S(x)=(288x+3x²)/(x-4)
S'(x)=((288x+3x²)/(x-4))' (type u/v)
u(x)=288x+3x²⇒u'(x)=288+6x
v(x)=x-4⇒v'(x)=1
S'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/(v(x))²
S'(x)=[(288+6x)(x-4)-(288x+3x²)]/(x-4)²
S'(x)=(288x-1152+6x²-24x-288x-3x²)/(x-4)²
S'(x)=(3x²-24x-1152)/(x-4)²
Comme (x-4)²>0 ∀x∈Df donc le signe de S'(x) dépend du numérateur. On va chercher pour quelles valeurs de x s'(x) il s'annulent:
S'(x)=0
(3x²-24x-1152)/(x-4)²=0
3x²-24x-1152=0
Δ=b²-4ac=(-24)²-4(3)(-1152)=14400
x(1)=(-b-√Δ)/2a=(24-120)/6=-16 ----> ∉Df
x(2)=(-b+√Δ)/2a=(24+120)/6=24
Selon le théorème du signe du polynôme, S'(x)≤0 si x∈[0;24] donc S sera décroissante sur [0;24]. S'(x)≥0 si x∈[24;+∞[ donc S est donc croissante sur cet intervalle.
3) Par la question précédente, on sait la courbe de S admet un minimum pour un x qui annule la dérivée S'. Ce point est le point d'abscisse x=24.
Il est alors facile d'avoir y par la relation du 1):
y=(288+3x)/(x-4) avec x=24
y=(288+3×24)/(24-4)
y=18
