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Bonjour, bonsoir a tous , besoin d aide pour cet exo . Merci de votre aide Calculer A = ( 1- 1/n ) (1 + 1/n ) pour n =1 ,n=2, n=3, n=4 , n=5 . Faire pour une conjecture pour n = 6 . Vérifier cette conjecture .

Sagot :

Croisierfamily
A = 1 - (1/n²)    ( il faut connaître les identités ou produits remarquables ! )

Tableau :n     1            2                 3                    4                     5                     6A     0     3/4 = 0,75   8/9 ≈ 0,89   15/16 ≈ 0,94   24/25 = 0,96  35/36 ≈ 0,972

Conjecture : A(n) = (n²-1)/n² .
vérifions avec n = 6 --> A(6) = 35/36 vérifié !Pour n = 7 --> A(7) = 48/49 ≈ 0,9796
Remarque : pour n tendant vers l' infini ( +∞ ), Limite de A(n) --> 1 . La représentation graphique de la fonction "A" admet une asymptote horizontale d' équation y = 1 . La représentation graphique restera SOUS l' asymptote .
Stiaen
Bonjour,

[tex]A(1)=\left(1-\dfrac{1}{1}\right)\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\\\\A(1)=0\times 2\\A(1)=0\\\\\\ A(2)=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\\\\A(2)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\\\\A(2)=\dfrac{3}{4}\\\\\\ A(3)=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\\\\A(3)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{3}\\\\A(3)=\dfrac{8}{9}\\\\\\ A(4)=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\\\\A(4)=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{4}\\\\A(4)=\dfrac{15}{16}\\\\\\[/tex]

[tex]A(5)=\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1+\dfrac{1}{5}\right)\\\\A(5)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{6}{5}\\\\A(5)=\dfrac{24}{25}[/tex]

Nous pouvons supposer que : [tex]A(6)=\dfrac{35}{36}[/tex]

Car : 

[tex]A(n)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\\\A(n)=\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n}\\\\A(n)=\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}\\\\\boxed{A(n)=\dfrac{n^2-1}{n^2}}[/tex]


[tex]A(6)=\left(1-\dfrac{1}{6}\right)\left(1+\dfrac{1}{6}\right)\\\\A(6)=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{7}{6}\\\\A(6)=\dfrac{35}{36}[/tex]

La conjecture est bien vérifiée.

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