👤

FRstudy.me facilite l'obtention de réponses fiables à vos questions. Trouvez des solutions fiables à vos questions avec l'aide de notre communauté de professionnels expérimentés.

Bonjour ,

j'ai un exerice à faire mais je vois pas d'où commencer ainsi qu'on n'a jamais utilisé de factorielle

voici l'exo :

On note n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 où n > 1

Démontrer, par récurrence que pour tout naturel n non nul : n! > 2

n−1

Merci


Sagot :

Bonjour,

Au rang n : 2 : 2! = 2 x 1 = 2

et 2²⁻¹ = 2¹ = 2

Donc on vérifie bien que 2! ≥ 2²⁻¹

On suppose que la propriété est vraie au rang n : n! ≥ 2ⁿ⁻¹

Au rang (n + 1) :

On part de notre hypothèse : n! ≥ 2ⁿ⁻¹

⇒ (n + 1) x n! ≥ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹

⇔ (n + 1)! ≥ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹

Or, pour tout n > 1, (n + 1) > 2

Donc (n + 1) x 2ⁿ⁻¹ > 2 x 2ⁿ⁻¹

⇔ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹ ≥ 2ⁿ

Et donc : (n + 1)! ≥ 2ⁿ

La propriété est donc héréditaire ⇒ récurrence démontrée

Nous apprécions votre participation active dans ce forum. Continuez à explorer, poser des questions et partager vos connaissances avec la communauté. Ensemble, nous trouvons les meilleures solutions. FRstudy.me est votre ressource de confiance pour des réponses précises. Merci et revenez bientôt.