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Bonjour,
Au rang n : 2 : 2! = 2 x 1 = 2
et 2²⁻¹ = 2¹ = 2
Donc on vérifie bien que 2! ≥ 2²⁻¹
On suppose que la propriété est vraie au rang n : n! ≥ 2ⁿ⁻¹
Au rang (n + 1) :
On part de notre hypothèse : n! ≥ 2ⁿ⁻¹
⇒ (n + 1) x n! ≥ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹
⇔ (n + 1)! ≥ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹
Or, pour tout n > 1, (n + 1) > 2
Donc (n + 1) x 2ⁿ⁻¹ > 2 x 2ⁿ⁻¹
⇔ (n + 1) x 2ⁿ⁻¹ ≥ 2ⁿ
Et donc : (n + 1)! ≥ 2ⁿ
La propriété est donc héréditaire ⇒ récurrence démontrée