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Sagot :
Bonjour;
Soit x la distance du bout du fil à laquelle on coupe fil .
Soient r et c respectivement le rayon du cercle et le côté du triangle équilatéral .
Le périmètre du cercle est x = 2πr ; donc : r = x/(2π) ; donc sa surface Sc = πr² = π(x/(2π))² = x²/(4π) .
Le périmètre du triangle est 1,5 - x = 3c ; donc : c = 0,5 - x/3 ; donc sa surface St = √3/4 c² = √3/4 (0,5 - x/3)² .
L'aire des deux objets formés est : a(x) = Sc + St = x²/(4π) + √3/4 (0,5 - x/3)²
= x²/(4π) + √3/4(0,25 - x/3 + x²/9) = x²/(4π) + √3/16 - x/(4√3) + x²/(12√3)
= (1/(4π) + 1/(12√3))x² - x/(4√3) + √3/16.
Calculons : a'(x) .
a'(x) = (1/(2π) + 1/(6√3))x - 1/(4√3) ;
donc a est minimale si a'(x) = 0 ;
donc si : (1/(2π) + 1/(6√3))x - 1/(4√3) = 0 ;
donc : x = 1/(4√3(1/(2π) + 1/(6√3))) ≈ 0,26220572 m ≈ 0,26 m .
En bonus , je donne x tel que Sc = St .
On a : Sc = St ;
donc : x²/(4π) = √3/4 (0,5 - x/3)² ;
donc : x²/(√3 π) = (0,5 - x/3)² ;
donc : 1/√(√3 π) x = 0,5 - x/3 ;
donc : (1/3 + 1/√(√3 π)) x = 0,5 ;
donc : x = 0,5/(1/3 + 1/√(√3 π)) ≈ 0,6561467 m ≈ 0,66 m .
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