Bonjour,
Ex 43
1) U₂ = U₁₊₁ = U₁ + 2x1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4
U₃ = U₂₊₁ = U₂ + 2x2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9
etc....
on trouve donc la suite de termes : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
2)a) on peut conjecturer : Un = n²
b) On vérifie bien que : 1² = 1 = U₁
Donc la conjecture est vraie au rang n = 1.
On suppose qu'elle est vraie au rang n, donc que Un = n²
Au rang (n + 1) : Un+1 = Un + 2n + 1
⇒ par hypothèse de récurrence : Un+1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²
Donc l'héridité est démontrée. Et par conséquent pour tout n ∈ N*, Un = n²
Ex 44
1) U₁ = U₀₊₁ = 3/4 x U₀ + 1/2 = 3/4 x 2 + 1/2 = 3/2 + 1/2 = 2
U₂ = U₁₊₁ = 3/4 x U₁ + 1/2 = ... = 2
etc....
2)a) donc on peut conjecturer que pour tout n ∈ N, Un = 2 (suite constante)
3) Propritété vraie au rang n = 0 : U₀ = 2
Hypothèse de récurrence : Propriété vraie au rang n, soit Un = 2
Au rang (n + 1) : Un+1 = 3/4 x Un + 1/2 = 3/4 x 2 + 1/2 = 2
⇒ hérédité démontrée
