Question 1 :
Première solution
f(x) = (x+5)²+6 = x²+10x+25+6 = x²+10x+31
La fonction f est donc un polynôme du second degrés de type ax² + bx + c.
Comme le coefficient a est positif, sa représentation graphique est une parabole concave en haut (= dans le même sens que la parabole y = x²). L'extrémum de la parabole est donc un minimum. On peut trouver l'abscisse x qui correspond à ce minimum par la formule [tex] x=\frac{-b}{2a}[/tex]
Cela donne ici : [tex] x=\frac{-10}{2}=-5[/tex]
Donc f(-5) correspond au minimum de f(x).
f(-5) = 25 - 50 + 31 = 31 - 25 = 6
Donc 6 est le minimum de f(x) : la fonction f est donc minorée par 6.
Deuxième solution encore plus facile
f(x) = (x+5)²+6 correspond à la forme canonique de la fonction.
(x+5)² est un carré, donc forcément positif.
Donc f(x) = (x+5)² + 6 est donc toujours supérieur ou égal à 6.
On voit que 6 est le minimum de f(x) et que f(x) = 6 lorsque (x+5)=0, c'est-à-dire lorsque x=(-5)
Deuxième question
[tex]g(x) =\frac{-2}{3}(-2x+4)^2+10[/tex] est aussi une forme canonique d'un polynôme du second degrés.
(-2x+4)² étant un carré, c'est un nombre toujours positif ou nul.
Donc [tex] \frac{-2}{3}(-2x+4)^2[/tex] est un nombre négatif ou nul.
Donc g(x) est toujours inférieur ou égal à 10.
10 est donc le maximum de g(x). Il est obtenu lorsque (-2x+4) = 0 donc lorsque x=2.
J'espère avoir pu t'aider.
N'hésite pas à poser des questions.
