2 est racine de P : on vérifie bien que P(2)=0
Ce qui signifie que l'on peut écrire ce polynome comme le produit de (x-2) par un polynome du second degré, qu'on peut noter Q(x). (On a d'ailleurs bien conservation du degré 3 de P). La partie (x-2) correspond à la partie "annulative" du polynôme pour x=2
On sait donc simplement que l'on peut écrire ce polynome Q de degré 2 de la façon standarde suivante : Q(x) = ax²+bx+c avec a,b,c des réels à déterminer
Finalement on a P(x) = (x-2)Q(x) = (x-2)(ax²+bx+c)
et on vérifie toujours que P(2) = 0
Si on voulait déterminer a, b et c on pourrait en développant cette nouvelle formule :
P(x) = ax^3 + bx²+cx -2ax²-2bx-2c
P(x) = ax^3 + (b-2a)x²+(c-2b)x -2c
Et en identifiant termes à termes avec l'expression initiale on obtient le système suivant :
a=1
b-2a = 1
c-2b=-10
-2c = 8
on peut le résoudre et trouver a,b,c et vérifier que c'est bien cohérent
