[tex]I=\int\limits^1_0 {x ch(x)}\, dx = \int\limits^1_0 {x \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} } \, dx[/tex]
[tex]I= (1/2)[\int\limits^1_0 {x e^{x}}\, dx + \int\limits^1_0 {xe^{-x}} \, dx][/tex]
or une intégration par partie donne :
[tex]\int\limits^1_0 {x e^{x}}\, dx = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int\limits^1_0 {e^{x}}\, dx[/tex]
[tex]\int\limits^1_0 {x e^{x}}\, dx =e - (e-1) = 1[/tex]
de même
[tex]\int\limits^1_0 {x e^{-x}}\, dx = [xe^{-x}]_{0}^{1} -\int\limits^1_0 {e^{-x}}\, dx[/tex]
[tex]\int\limits^1_0 {x e^{-x}}\, dx = 1/e - (1-1/e) = 2/e - 1[/tex]
Finalement en réunissant tous les résultats on trouve :
I = 1/e
