n représente le nombre d'années écoulées après l'investissement de 10 000 euros.
u(n) représente le bénéfice de l'année n.
Effectivement on a bien u(1)=1500 et u(n+1) = 0,8 u(n)
donc (un) suite géométrique de premier terme u1 et de raison q=0,8
On veut maintenant savoir si la somme des bénéfices pourra un jour, rembourser la dépense initiale de 10 000 euros.
Pour cela on utilise la formule de la somme d'une suite géométrique. Soit Sn la somme des bénéfices au bout de n années :
[tex]S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}[/tex]
Deja on peut essayer de voir ce qu'il se passe quand n est très grand, c'est à dire quand on fait tendre n vers +oo, pour voir si au moins attendre jusque dans des temps très lointain, serait suffisant pour le rembourser. On a le droit de faire cela, car Sn converge : en effet 0 < q < 1 donc [tex]q^n \rightarrow 0[/tex] quand n tend vers +oo
Donc
[tex]S_\infty = \lim_{n \to \infty}(S_n) = u_1 \dfrac{1}{1-q} = \dfrac{1500 }{0,2} =7500[/tex]
et 7500 < 10 000
donc Valentin ne pourra espérer rembourser son investissement, même en attendant la fin des temps :)
