Bonjour,
n = 13 : U₁₃ = 3¹³/13² ≈ 9433,864
et 2¹³ = 8192
Donc U₁₃ ≥ 2¹³
Proposition validée au rang n = 13
On suppose qu'au rang n, Un ≥ 2ⁿ
Au rang (n+1) : Un+1 = 3ⁿ⁺¹/(n + 1)²
= 3 x 3ⁿ/(n + 1)²
3ⁿ/(n + 1)² > 3ⁿ/n² ⇒ 3ⁿ/(n + 1)² > Un
⇒ Un+1 > 3 x Un
et par hypthèse, Un ≥ 2ⁿ
donc Un+1 ≥ 3 x 2ⁿ
Or 3 > 2 ⇒ Un+1 ≥ 2 x 2ⁿ
soit Un+1 ≥ 2ⁿ⁺¹
⇒ hérédité démontrée à partir du rang n = 13
b) lim 2ⁿ quand n → +∞ = +∞
⇒ lim Un = +∞
