Question 1
Pour calculer l'aire du trapèze ABMD,inutile de connaître des formules compliquées. Il faut simplement mesurer l'aire du rectangle ABCD et en soustraire l'aire du triangle BCM.
Cela donne :
[tex]A_{ABMD} = A_{ABCD} - A_{BCM}[/tex]
L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur donc : [tex]A_{ABCD} = AB * AD = 7 * 4 = 28[/tex]
L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la longueur d'un de ses côtés par la hauteur correspondante.
(C'est la formule [tex]\frac{Base * Hauteur}{2}[/tex] )
Donc :
[tex]A_{BCM} = \frac{1}{2}*BC*CM = \frac{1}{2}*4*CM[/tex]
Or [tex]CM = CD - DM = AB - DM = 7 - x[/tex]
Donc [tex]A_{BCM} = \frac{1}{2} *4*(7-x)=2*(7-x) = 14-2x[/tex]
Donc l'équation donnant l'aire de ABMD en fonction de ceux de ABCD et de BCM devient :
[tex]A_{ABMD} = A_{ABCD} - A_{BCM} = 28 - (14-2x)=28-14+2x=14+2x[/tex]
Donc [tex]f(x) = A_{ABMD} = 14+2x[/tex]
Conclusion : [tex]f(x) =2x+14[/tex]
Question 2
[tex]g(x)[/tex] correspond à l'aire du triangle BCM, en fonction de [tex]x[/tex] :
[tex]g(x) = A_{BCM}[/tex]
Nous avons déjà exprimé à la question 1, l'aire du triangle BCM en fonction de [tex]x[/tex].
Nous avions trouvé :
[tex]A_{BCM} = \frac{1}{2} *4*(7-x)=2*(7-x) = 14-2x[/tex]
Conclusion : [tex]g(x) = -2x+14[/tex]
Question 3
Le problème correspond à trouver la longueur DM notée [tex]x[/tex] pour que l'aire [tex]f(x)[/tex] du trapèze ABMD soit le double de l'aire [tex]g(x)[/tex] du triangle BCM.
Cela se traduit par :
[tex]f(x) = 2 * g(x)[/tex]
Donc résoudre le problème revient à résoudre l'équation :
[tex]2x+14 = 2 * (-2x+14)[/tex]
Question 4
Résolvons [tex]2x+14 = 2 * (-2x+14)[/tex]
Donc [tex]2x+14 = -4x+28[/tex]
Donc [tex]2x+4x = 28-14=14[/tex]
Donc [tex]6x=14[/tex]
Donc [tex]x=\frac{14}{6}[/tex]
En simplifiant cette fraction, on trouve [tex]x=\frac{7}{3}[/tex]
Conclusion : l'aire du trapèze ABMD fait le double de l'aire du triangle BCM lorsque le point M est situé tel que [tex]DM= \frac{7}{3}[/tex] (soit environ 2,33).
N'hésite pas si tu as des questions.
