Bonjour,
Ex 7)
1) u(1;3;2) et v(2;-3;3) dans la base (i,j,k)
2/1 = 2, -3/3 = -1 et 3/2 = 1,5 ⇒ coordonnées non proportielles ⇒ u et v non colinéaires.
u.v = 2x1 + (-3)x3 + 3x2 = -1 ≠ 0 ⇒ u et v non orthogonaux
2) w(x;y;z)
u.w = 0 ⇒ x + 3y + 2z = 0 (1)
v.w = 0 ⇒ 2x - 3y + 3z = 0 (2)
(1) + (2) ⇒ 3x + 5z = 0 ⇒ pour x = 1, z = -3/5
(1) devient : 1 + 3y - 6/5 = 0 ⇒ 3y = 1/5 ⇒ y = 1/15
⇒ w(1 ; 1/15 ; -3/5) ou w(15 ; 1 ; -9)
Ex 8) u(1;1;-1) et v(0;-2;1)
1) e₁(x;y;z) = k x u ⇒ x = k, y = k et z = -k
||e₁|| = 1 ⇒ √(x² + y² + z²) = 1 ⇒ x² + y² + z² = 1 ⇒ k² + k² + (-k)² = 1 ⇔ k² = 1/3
⇒ k = 1/√3 = √3/3 ou -1/√3 = -√3/3
⇒ par exemple : e₁(√3/3 ; √3/3 ; -√3/3)
2) x = αu + βv
⇒ x(α ; α - 2β ; -α + β)
x.u = 0 ⇒ α + (α - 2β) - (-α + β) = 0 ⇔ 3α - 3β = 0 ⇔ α = β
⇒ x(α ; -α ; 0)
||x|| = 1 ⇒ √[α² + (-α)²] = 1 ⇔ √(2α²) = 1 ⇒ 2α² = 1 ⇒ α = +/- √2/2
⇒ par exemple : e₂(√2/2 ; -√2/2 ; 0) ou e₂(1 ; -1 ; 0)
3) e₁(√3/3 ; √3/3 ; -√3/3) e₂(√2/2 ; -√2/2 ; 0)
e₃(x;y;z) tel que e₁.e₃ = 0 et e₂.e₃ = 0
⇒ x√3/3 + y√3/3 - z√3/3 = 0
et x√2/2 - y√2/2 = 0
⇔ x + y - z = 0 et x - y = 0
⇒ z = x + y = 2x
⇒ e₃(x ; x ; 2x)
Et de plus : ||e₃|| = 1 ⇒ √[1 + 1 + 4)x²] = 1 ⇒ 6x² = 1 ⇒ x = +/- √6/6
donc par exmple e₃(√6/6 ; √6/6 ; √6/3)
