Bonjour,
1) a) ci-dessous : f en bleu et g en rouge
b) f(x) - g(x)
= x² + 1 + x² - 2x - 13
= 2x² - 2x - 12
= 2(x² - x - 6)
Signe de x² - x - 6 :
Δ = (-1)² - 4x1x(-6) = 25 = 5²
donc 2 racines : x = (1 - 5)/2 = -2 et x = (1 + 5)/2 = 3
⇒ f(x) - g(x) = 2(x + 2)(x - 3)
⇒ Cf au-dessus de Cg pour x ∈ ]-∞ ; -2[ ∪ ]3 ; +∞|
Cf en dessous de Cg pour x ∈ ]-2;3[
et Cf croise Cg aux points d'abscisse -2 et 3
2) f(x) = x²/2 et g(x) = 1/(x + 1)
a) Df = R et Dg = R - {-1}
b) (x - 1)(x² + 2x + 2)
= x³ + 2x² + 2x - x² - 2x - 2
= x³ + x² - 2
c) f(x) - g(x)
= x²/2 - 1/(x + 1)
= [x²(x + 1) - 2]/(x + 1)
= (x³ + x² - 2)/(x + 1)
Sur ]-1;+∞[, (x + 1) > 0
Donc le signe de f(x) - g(x) est le même que le signe du numérateur
Signe de x³ + x² - 2 :
D'après la question précédente, x³ + x² - 2 = (x - 1)(x² + 2x + 2)
SIgne de x² + 2x + 2 : Δ = 4 - 8 = -4 < 0
⇒ (x² + 2x + 2) > 0 sur R et donc sur ]-1;+∞[
Donc le signe de f(x) - g(x) ne dépend que du signe de (x - 1) sur ]-1;+∞[ :
x -1 1 +∞
(x - 1) - 0 +
f(x) - g(x) - 0 +
Je te laisse conclure...
