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Bonjour,
1) Repère (A,B,D)
⇒ A(0;0), B(1;0), C(1;1) et D(0;1)
U(x ; 0)
V(1 ; x)
S(1 - x ; 1)
T(0 ; 1 - x)
Vecteur UV : UV(1 - x ; x) ⇒ distance UV = √[(1 - x)² + x²] = √(1 - 2x + 2x²)
Vecteur VS : VS(-x ; 1 - x) ⇒ distance VS = √[(-x)² + (1 - x)²] = √(1 - 2x + 2x²)
Vecteur ST : ST(x - 1 ; -x) ⇒ distance ST = √[(x - 1)² + (-x)²] = √(1 - 2x + 2x²)
Vecteur TU : TU(-x ; 1 - x) ⇒ distance TU = √[(-x)² + (1 - x)²] = √(1 - 2x + 2x²)
⇒ UV = VS = ST = TU
⇒ UVST est un carré ou un losange
UV² + VS² = (1 - 2x + 2x²) + (1 - 2x + 2x²) = 2(1 - 2x + 2x²) = 2 - 4x + 4x²
US(1 - 2x ; 1) ⇒ US² = [(1 - 2x)² + 1²] = 1 - 4x + 4x² + 1 = 2 - 4x + 4x²
⇒ UV² + VS² = US²
⇒ UVS est rectangle en V
⇒ UVST est un carré.
2) ABCD est un carré et AU = BV = CS = DT
⇒ UB = VC = SD = TA
et comme AUT, BVU, CSV et DTS sont rectangles : UV = VS = ST = TU
⇒ Les 4 triangles rectangles AUT, BVU, CSV et DTS sont égaux
⇒ Les 4 angles UVS, VST, STU et TUV sont égaux
⇒ UVST est un carré (4 angles égaux et côtés de même longueur)
