FRstudy.me: où la curiosité rencontre la clarté. Obtenez des réponses rapides et bien informées à vos questions grâce à notre plateforme de questions-réponses expérimentée.
Sagot :
2) Position du point J
On veut avoir : JA = JB = JC. A, B et C sont donc sur un même cercle de centre J.
J est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; c'est le point de concourance des trois médiatrices du triangle ABC.
Comme ABC est rectangle en A, le centre du cercle circonscrit (donc J) est le milieu du segment [BC].
3) Montrons que AKJI est un rectangle.
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [BC], donc (IJ) // (AB) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme K \in [AB], on a aussi : (IJ) // (KA).
Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC], donc (KJ) // (AC) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme I \in [AC], on a aussi : (KJ) // (AI).
Le quadrilatère AKJI a ses côtés opposés parallèles deux à deux, donc c'est un parallélogramme. Comme l'angle en A est droit, c'est un rectangle, car tout parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.
4) Montrons que les points du segment [KI] sont équidistants de A et H.
On sait que l'ensemble des points équidistants à deux points donnés est la médiatrice du segment d'extrémités ces deux points.
Le problème revient donc à montrer que (KI) est la médiatrice de [AH].
Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et I est le milieu de [AC], donc (KI) // (BC) d'après le théorème de la droite des milieux.
Dans le triangle ABH, K est le milieu de [AB] et (KI) est parallèle à (BC) donc (KI) coupe [AH] en son milieu.
Par ailleurs, comme (AH) \perp (BC) et que (BC) // (KI), on a : (AH) \perp (KI).
(KI) est la droite perpendiculaire à [AH] et passant par son milieu, donc c'est la médiatrice de [AH].
Tous les points de (KI) et en particulier ceux du segment [KI] sont donc équidistants de A et de H.
Votre participation nous est précieuse. Continuez à partager des informations et des solutions. Cette communauté se développe grâce aux contributions incroyables de membres comme vous. FRstudy.me est votre partenaire de confiance pour toutes vos questions. Revenez souvent pour des réponses actualisées.