soient A = 4 x² - 12 x + 9 et B = (- x + 7)² - (3 x - 10)²
1) factoriser A et B
A = 4 x² - 12 x + 9 est une identité remarquable a² - 2 ab + b² = (a-b)²
a² = 4 x² ⇒ a = 2 x
b² = 9 ⇒ b = 3
2 ab = 2(2 x)*3 = 12 x
⇒ A = 4 x² - 12 x + 9 = (2 x - 3)²
B = (- x + 7)² - (3 x - 10)² est une identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)
a² = (- x + 7)² ⇒ a = (- x + 7)
b² = (3 x - 10)² ⇒ b = 3 x - 10
B = (- x + 7)² - (3 x - 10)² = (- x + 7 + 3 x - 10)(- x + 7 - 3 x + 10)
B = (- x + 7)² - (3 x - 10)² = (2 x - 3)(- 4 x + 17)
2) en déduire une factorisation de A + B
A+B = (2 x - 3)² + (2 x - 3)(- 4 x + 17)
= (2 x - 3)[2 x - 3 + (- 4 x + 17)]
= (2 x - 3)(2 x - 3 - 4 x + 17)
= (2 x - 3)(14 - 2 x)
A+B = 2(2 x - 3)(7 - x)
3) résoudre l'équation A+ B = 0
A+B = 2(2 x - 3)(7 - x) = 0 on a un produit de facteurs nul
⇒ 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3/2 ou 7 - x = 0 ⇒ x = 7
EX3
C = 4 x² - 4 x - 15
1) soit D = 4 x² - 4 x
écrire D sous la forme d'une différence de deux carrés
D = 4 x² - 4 x + 1 - 1
= (4 x² - 4 x + 1) - 1
4 x² - 4 x + 1 identité remarquable a² - 2ab + b² = (a - b)²
4 x² - 4 x + 1 = (2 x - 1)²
D = (2 x - 1)² - 1²
2) a) en déduire C sous la forme d'une différence de deux carrés
C = 4 x² - 4 x - 15
= 4 x² - 4 x - 15 - 1 + 1
= (4 x² - 4 x + 1) - 15 - 1
= (2 x - 1)² - 16
C = (2 x - 1)² - 4²
c) résoudre enfin l'équation C = 0
C = (2 x - 1)² - 4² = (2 x - 1 + 4)(2 x - 1 - 4) = (2 x + 3)(2 x - 5) identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)
C = (2 x + 3)(2 x - 5) = 0 Produit de facteurs nul
⇒ 2 x + 3 = 0 ⇒ x = - 3/2 ou 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5/2