1) montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires
il suffit de montrer que le produit de leur coefficient directeur est égal à - 1
(a x a' = - 1)
soit a : coefficient directeur de la droite (AB)
a ' : // // // // (AC)
a = (yb-ya)/(xb-xa) = (0 - 4)/(-5 + 3) = - 4/-2 = 2
a' = (yc - ya)/(xc - xa) = (0 - 4)/(5+3) = - 1/2
a x a' = 2 x (-1/2) = - 1 ⇒ donc (AB) ⊥ (AC)
2) calculer les coordonnées du point D symétrique de I par rapport à 0
I milieu de (AC)
I(xi ; yi) ⇒ xi = (xc + xa)/2 = (5 - 3)/2 = 1
yi = (yc + ya)/2 = (0+4)/2 = 2
I(1 ; 2)
D0 = 0C ⇔ (- x ; - y) = (1 ; 2) ⇒ x = - 1 et y = - 2
D(- 1 ; - 2)
3) quelle est la nature de ABDI
(AB) ⊥ (AC) ⇒ (AB) ⊥ (AI) puisque I ∈ (AC)
AB = √[(-5+3)²+(-4)²] = √(4 + 16) = √20
AI = √[(1 + 3)²+ (2 - 4)²] = √(16 + 4) = √20
lorsque ces deux côtés consécutifs sont égaux les deux autres sont également égaux
⇒ donc ABDI est un carré
4) montrer que les points A, B, D et I sont sur un même cercle dont -on précisera le centre et le rayon
puisqu'il s'agit d'un carré inscrit dans un cercle, les diagonales du cercle sont des diamètres et se coupent au même milieu c'est le centre du cercle
AD = √[(- 1 + 3)²+ (- 2 - 4)²] = √(4 + 36) = √40
)BI = √{(1+5)²+ (2²] = √(36+4) = √40
soit Ω(a ; b) le centre du cercle qui est aussi milieu de AD
a = (-1 - 3)/2 = - 2
b = (-2 + 4)/2 = 1
Ω(- 2 ; 1)
l'équation du cercle est : (x + 2)² + (y - 1)² = (√40/2)² = 40/4 = 10
(x + 2)² + (y - 1)² = 10
A(- 3 ; 4) doit vérifier l'équation du cercle : (- 3 + 2)²+ (4 - 1)² = 10
(-1)²+ 3² = 10 ⇒ A∈ cercle
B(- 5 ; 0) ⇒ (- 5+2)²+ 1 = 10 ⇒ B∈ cercle
D(- 1 ; - 2) ⇒ (- 1 + 2)²+ (- 2 - 1)² = 1 + 9 = 10 ⇒ D ∈ cercle
I(1 ; 2) ⇒ (1 +2)²+ (2 - 1)² = 9+1 = 10 ⇒ I ∈ cercle
